题目
1.设总体X和Y相互独立,且都服从N(0,1),X1,X2,···X9是来自总体X-|||-的样本,Y1,Y2,···Y9是来自总体Y的样本,则统计量 =dfrac ({X)_(1)+(X)_(2)+... (X)_(9)}(sqrt {{{Y)_(1)}^2+({Y)_(2)}^2+... +({Y)_(9)}^2}}-|||-服从 __ _分布,统计量 =dfrac (5sum _{i=1)^5({x)_(i)}^2}(9sum _{i=1)^5({x)_(i)}^2} 服从_ __ _分布-|||-i=1
题目解答
答案
】
(1)由X1,X2,…,X9相互独立且都服从N(0,1),可知
X1+X2+…+X9~N(0,9),
Y1,Y2,…,Y9相互独立且都服从N(0,1),可知
Y21+Y22+…+Y29~X2(9),
故
U=X1+X2+…+X9
Y21+Y22+…+Y29
~t(9).
(2)由X1,X2,…,X9相互独立且都服从N(0,1),可知
X12+X22+…+X92~X2(9),
Y1,Y2,…,Y9相互独立且都服从N(0,1),可知
Y21+Y22+…+Y29~X2(9),
故
V=5X12+X22+…+X92
9Y21+Y22+…+Y29
~F(5,9).
t(9) F(5,9)
(1)由X1,X2,…,X9相互独立且都服从N(0,1),可知
X1+X2+…+X9~N(0,9),
Y1,Y2,…,Y9相互独立且都服从N(0,1),可知
Y21+Y22+…+Y29~X2(9),
故
U=X1+X2+…+X9
Y21+Y22+…+Y29
~t(9).
(2)由X1,X2,…,X9相互独立且都服从N(0,1),可知
X12+X22+…+X92~X2(9),
Y1,Y2,…,Y9相互独立且都服从N(0,1),可知
Y21+Y22+…+Y29~X2(9),
故
V=5X12+X22+…+X92
9Y21+Y22+…+Y29
~F(5,9).
t(9) F(5,9)
解析
步骤 1：确定 $U$ 的分布
由于 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 是来自总体 $X$ 的样本，且 $X$ 服从 $N(0,1)$，则 $X_1 + X_2 + \cdots + X_9$ 服从 $N(0,9)$。同时，$Y_1, Y_2, \cdots, Y_9$ 是来自总体 $Y$ 的样本，且 $Y$ 服从 $N(0,1)$，则 $Y_1^2 + Y_2^2 + \cdots + Y_9^2$ 服从 $\chi^2(9)$。因此，$U$ 服从 $t(9)$ 分布。
步骤 2：确定 $V$ 的分布
由于 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 是来自总体 $X$ 的样本，且 $X$ 服从 $N(0,1)$，则 $X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_9^2$ 服从 $\chi^2(9)$。同时，$Y_1, Y_2, \cdots, Y_9$ 是来自总体 $Y$ 的样本，且 $Y$ 服从 $N(0,1)$，则 $Y_1^2 + Y_2^2 + \cdots + Y_9^2$ 服从 $\chi^2(9)$。因此，$V$ 服从 $F(5,9)$ 分布。
由于 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 是来自总体 $X$ 的样本，且 $X$ 服从 $N(0,1)$，则 $X_1 + X_2 + \cdots + X_9$ 服从 $N(0,9)$。同时，$Y_1, Y_2, \cdots, Y_9$ 是来自总体 $Y$ 的样本，且 $Y$ 服从 $N(0,1)$，则 $Y_1^2 + Y_2^2 + \cdots + Y_9^2$ 服从 $\chi^2(9)$。因此，$U$ 服从 $t(9)$ 分布。
步骤 2：确定 $V$ 的分布
由于 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 是来自总体 $X$ 的样本，且 $X$ 服从 $N(0,1)$，则 $X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_9^2$ 服从 $\chi^2(9)$。同时，$Y_1, Y_2, \cdots, Y_9$ 是来自总体 $Y$ 的样本，且 $Y$ 服从 $N(0,1)$，则 $Y_1^2 + Y_2^2 + \cdots + Y_9^2$ 服从 $\chi^2(9)$。因此，$V$ 服从 $F(5,9)$ 分布。