题目
设X1， X_2 ， X_3 ， X_4 是来自正态总体 N(0,2^2) 的样本X=a(X_1-2X_2)^2+b(3X_3-4X_4)^2 ,求系数a,b,使得统计量X服从 x^2 分布,且求其自由度
设X1， X_2 ， X_3 ， X_4 是来自正态总体 N(0,2^2) 的样本X=a(X_1-2X_2)^2+b(3X_3-4X_4)^2 ,求系数a,b,使得统计量X服从 x^2 分布,且求其自由度
题目解答
答案
解 由于X1， X_2 ， X_3 ， X_4 独立且服从正态总体 N(0,2^2) ，则有X_1-2X_2∼N(0,20) (X_1-2X_2)/(√(20))∼N(0,1)， 1/(20)(X_1-2X_2)^2∼x^2(1) ,同理1/(100)(3X_3-4X_4)^2-x^2(1) 因此可知， 1/(20)(X_1-2X_2)^2+1/(100)(3X_3-4X_4)^2-x^2(2)即a=1/20,b=1/100,其自由度为2.
解析
步骤 1：确定正态分布的性质
由于 X1， X_2 ， X_3 ， X_4 是来自正态总体 N(0,2^2) 的样本，因此它们相互独立且均服从正态分布 N(0,2^2)。
步骤 2：计算线性组合的分布
根据正态分布的性质，对于任意常数 a 和 b，线性组合 aX + bY 也服从正态分布，其中 X 和 Y 是独立的正态随机变量。因此，X_1-2X_2 和 3X_3-4X_4 也服从正态分布。具体地，X_1-2X_2 服从 N(0,20) 分布，3X_3-4X_4 服从 N(0,100) 分布。
步骤 3：标准化正态分布
为了使 (X_1-2X_2)^2 和 (3X_3-4X_4)^2 服从卡方分布，我们需要将它们标准化。标准化后的变量 (X_1-2X_2)/√20 和 (3X_3-4X_4)/√100 分别服从标准正态分布 N(0,1)。因此，(X_1-2X_2)^2/20 和 (3X_3-4X_4)^2/100 分别服从自由度为 1 的卡方分布。
步骤 4：确定系数 a 和 b
为了使 X=a(X_1-2X_2)^2+b(3X_3-4X_4)^2 服从卡方分布，我们需要 a 和 b 分别等于 1/20 和 1/100。这样，X 就可以表示为两个独立的自由度为 1 的卡方分布的和，即 X∼χ^2(2)。
由于 X1， X_2 ， X_3 ， X_4 是来自正态总体 N(0,2^2) 的样本，因此它们相互独立且均服从正态分布 N(0,2^2)。
步骤 2：计算线性组合的分布
根据正态分布的性质，对于任意常数 a 和 b，线性组合 aX + bY 也服从正态分布，其中 X 和 Y 是独立的正态随机变量。因此，X_1-2X_2 和 3X_3-4X_4 也服从正态分布。具体地，X_1-2X_2 服从 N(0,20) 分布，3X_3-4X_4 服从 N(0,100) 分布。
步骤 3：标准化正态分布
为了使 (X_1-2X_2)^2 和 (3X_3-4X_4)^2 服从卡方分布，我们需要将它们标准化。标准化后的变量 (X_1-2X_2)/√20 和 (3X_3-4X_4)/√100 分别服从标准正态分布 N(0,1)。因此，(X_1-2X_2)^2/20 和 (3X_3-4X_4)^2/100 分别服从自由度为 1 的卡方分布。
步骤 4：确定系数 a 和 b
为了使 X=a(X_1-2X_2)^2+b(3X_3-4X_4)^2 服从卡方分布，我们需要 a 和 b 分别等于 1/20 和 1/100。这样，X 就可以表示为两个独立的自由度为 1 的卡方分布的和，即 X∼χ^2(2)。