题目
3、单选-|||-已知2阶矩阵 =(dfrac (a)(c)d) 的行列式 |A|=-1, 则 (({A)^*)}^-1= () .-|||-(4分)-|||-A a b-|||-c d-|||--a -b-|||--c -d-|||-C (-d b-|||-c -a-|||-D d -b-|||--C a
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算伴随矩阵 $A^*$
伴随矩阵 $A^*$ 的定义是 $A$ 的代数余子式矩阵的转置。对于矩阵 $A=(\begin{matrix} a& b\\ c& d\end{matrix} )$，其伴随矩阵 $A^*$ 为 $(\begin{matrix} d& -b\\ -c& a\end{matrix} )$。
步骤 2：计算伴随矩阵的逆矩阵 $({A^*})^{-1}$
根据矩阵的性质，如果矩阵 $A$ 的行列式 $|A| \neq 0$，则 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$。因此，$({A^*})^{-1} = \frac{1}{|A^*|}A$。由于 $|A| = -1$，则 $|A^*| = |A| = -1$。所以，$({A^*})^{-1} = \frac{1}{-1}A = -A$。
步骤 3：确定选项
根据步骤 2 的结果，$({A^*})^{-1} = -A = (\begin{matrix} -a& -b\\ -c& -d\end{matrix} )$。因此，正确答案是选项 B。
伴随矩阵 $A^*$ 的定义是 $A$ 的代数余子式矩阵的转置。对于矩阵 $A=(\begin{matrix} a& b\\ c& d\end{matrix} )$，其伴随矩阵 $A^*$ 为 $(\begin{matrix} d& -b\\ -c& a\end{matrix} )$。
步骤 2：计算伴随矩阵的逆矩阵 $({A^*})^{-1}$
根据矩阵的性质，如果矩阵 $A$ 的行列式 $|A| \neq 0$，则 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$。因此，$({A^*})^{-1} = \frac{1}{|A^*|}A$。由于 $|A| = -1$，则 $|A^*| = |A| = -1$。所以，$({A^*})^{-1} = \frac{1}{-1}A = -A$。
步骤 3：确定选项
根据步骤 2 的结果，$({A^*})^{-1} = -A = (\begin{matrix} -a& -b\\ -c& -d\end{matrix} )$。因此，正确答案是选项 B。