已知某种材料的抗压强度 X sim N(mu, sigma^2) ，现随机地抽取 10 个试件进行抗压试验，测得数据如下：482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469.(1) 求平均抗压强度 mu 的置信水平为 95% 的置信区间；(2) 若已知 sigma = 30 ，求平均抗压强度 mu 的置信水平为 95% 的置信区间；(3) 求 sigma 的置信水平为 95% 的置信区间.

本题主要考查正态总体均值和方差的置信区间的计算，解题思路如下：

(1) 求平均抗压强度 $\mu$ 的置信水平为 95% 的置信区间（$\sigma^2$ 未知）

• 首先，根据给定的数据计算样本均值 $\bar{x}$ 和样本标准差 $s$。
  • 样本均值 $\bar{x}$ 的计算公式为：$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，其中 $n$ 是样本容量，$x_{i}$ 是第 $i$ 个样本值。
  • 样本标准差 $s$ 的计算公式为：$s = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^2}$。
• 然后，由于总体方差 $\sigma^2$ 未知，我们使用 $t$ 分布来构造置信区间。置信区间的公式为：$\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n - 1)\frac{s}{\sqrt{n}}$，其中 $\alpha$ 是显著性水平，$t_{\alpha/2}(n - 1)$ 是自由度为 $n - 1$ 的 $t$ 分布的上 $\alpha/2$ 分位数。
• 最后，代入计算得到的 $\bar{x}$、$s$、$t_{\alpha/2}(n - 1)$ 和 $n$ 的值，计算出置信区间。

(2) 若已知 $\sigma = 30$，求平均抗压强度 $\mu$ 的置信水平为 95% 的置信区间

• 当总体方差 $\sigma^2$ 已知时，我们使用正态分布来构造置信区间。置信区间的公式为：$\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中 $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数。
• 同样，先计算样本均值 $\bar{x}$，然后代入 $\bar{x}$、$\sigma$、$z_{\alpha/2}$ 和 $n$ 的值，计算出置信区间。

(3) 求 $\sigma$ 的置信水平为 95% 的置信区间

• 我们使用 $\chi^2$ 分布来构造总体方差 $\sigma^2$ 的置信区间，然后再开方得到 $\sigma$ 的置信区间。$\sigma^2$ 的置信区间公式为：$\left(\frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n - 1)},\frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{1 - \alpha/2}(n - 1)}\right)$，其中 $\chi^2_{\alpha/2}(n - 1)$ 和 $\chi^2_{1 - \alpha/2}(n - 1)$ 分别是自由度为 $n - 1$ 的 $\chi^2$ 分布的上 $\alpha/2$ 分位数和下 $\alpha/2$ 分位数。
• 对 $\sigma^2$ 的置信区间开方，得到 $\sigma$ 的置信区间：$\left(\sqrt{\frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n - 1)}},\sqrt{\frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{1 - \alpha/2}(n - 1)}}\right)$。

具体计算过程

(1)

• 计算样本均值 $\bar{x}$：
  $\begin{align*}\bar{x}&=\frac{1}{10}\times(482 + 493 + 457 + 471 + 510 + 446 + 435 + 418 + 394 + 469)\\&=\frac{1}{10}\times4575\\&= 457.5\end{align*}$
• 计算样本标准差 $s$：
  $\begin{align*}s&=\sqrt{\frac{1}{10 - 1}\times[(482 - 457.5)^2 + (493 - 457.5)^2 + (457 - 457.5)^2 + (471 - 457.5)^2 + (510 - 457.5)^2 + (446 - 457.5)^2 + (435 - 457.5)^2 + (418 - 457.5)^2 + (394 - 457.5)^2 + (469 - 457.5)^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{9}\times(24.5^2 + 35.5^2 + (-0.5)^2 + 13.5^2 + 52.5^2 + (-11.5)^2 + (-22.5)^2 + (-39.5)^2 + (-63.5)^2 + 11.5^2)}\\&=\sqrt{\frac{1}{9}\times(600.25 + 1260.25 + 0.25 + 182.25 + 2756.25 + 132.25 + 506.25 + 1560.25 + 4032.25 + 132.25)}\\&=\sqrt{\frac{1}{9}\times10162.5}\\&\approx 35.22\end{align*}$
• 对于置信水平为 95%，$\alpha = 0.05$，自由度 $n - 1 = 9$，查 $t$ 分布表得 $t_{0.025}(9) = 2.262$。
• 置信区间为：
  $\begin{align*}\bar{x} \pm t_{0.025}(9)\frac{s}{\sqrt{10}}&= 457.5 \pm 2.262\times\frac{35.22}{\sqrt{10}}\\&\approx 457.5 \pm 25.2\end{align*}$
  即 $(432.3, 482.7)$。

(2)

• 已知 $\sigma = 30$，对于置信水平为 95%，$\alpha = 0.05$，查标准正态分布表得 $z_{0.025} = 1.96$。
• 置信区间为：
  $\begin{align*}\bar{x} \pm z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{10}}&= 457.5 \pm 1.96\times\frac{30}{\sqrt{10}}\\&\approx 457.5 \pm 18.6\end{align*}$
  即 $(438.9, 476.1)$。

(3)

• 已知 $s \approx 35.22$，自由度 $n - 1 = 9$，对于置信水平为 95%，$\alpha = 0.05$，查 $\chi^2$ 分布表得 $\chi^2_{0.025}(9) = 19.023$，$\chi^2_{0.975}(9) = 2.700$。
• 置信区间为：
  $\begin{align*}\left(\sqrt{\frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{0.025}(9)}},\sqrt{\frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{0.975}(9)}}\right)&=\left(\sqrt{\frac{9\times35.22^2}{19.023}},\sqrt{\frac{9\times35.22^2}{2.700}}\right)\\&\approx (24.2, 64.3)\end{align*}$