44 单选题 若随机变量 X sim N(mu, sigma^2)，从中随机抽取样本 x_1, x_2, ..., x_n，则 ((x-mu)/s)/(sqrt(n)) 服从的分布为（）。A. 正态分布B. F分布C. 近似正态分布D. t分布

本题考查正态总体下样本统计量的分布，解题的关键在于明确不同分布的定义和适用条件，通过对比题目所给统计量与各分布定义的形式来确定其服从的分布。

各分布的定义回顾

• 正态分布：若随机变量$X$服从正态分布，记为$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，其中$\mu$为均值，$\sigma^{2}$为方差。
• F分布：设$U\sim\chi^{2}(n_1)$，$V\sim\chi^{2}(n_2)$，且$U$与$V$相互独立，则随机变量$F=\frac{U/n_1}{V/n_2}$服从自由度为$(n_1,n_2)$的F分布，记为$F\sim F(n_1,n_2)$。
• t分布：设$X\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^{2}(n)$，且$X$与$Y$相互独立，则随机变量$T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}$服从自由度为$n$的t分布，记为$T\sim t(n)$。

本题统计量的分析

已知随机变量$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，从中随机抽取样本$x_1,x_2,\cdots,x_n$，样本均值$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i$，样本标准差$s=\sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}$。
对于统计量$\frac{(\overline{x}-\mu)/s}{\sqrt{n}}$，我们可以将其变形为$\frac{\overline{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}$。
因为$\overline{x}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，那么$\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，同时$\frac{(n - 1)s^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$，且$\overline{x}$与$s^{2}$相互独立。
令$X=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，$Y=\frac{(n - 1)s^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$，则$\frac{(\overline{x}-\mu)/s}{\sqrt{n}}=\frac{\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n - 1)s^{2}}{\sigma^{2}(n - 1)}}}=\frac{X}{\sqrt{Y/(n - 1)}}$，根据t分布的定义可知$\frac{(\overline{x}-\mu)/s}{\sqrt{n}}$服从自由度为$n - 1$的t分布。