题目

分别使用金球和铂球测定引力常数(以^-11(m)^3cdot k(g)^-1 s^-2计)(1）用金球测定观察值为6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672(2）用铂球测定观察值为6.661 6.661 6. 667 6.667 6.664设测定值总体为^-11(m)^3cdot k(g)^-1 s^-2,^-11(m)^3cdot k(g)^-1 s^-2,^-11(m)^3cdot k(g)^-1 s^-2均为未知.试就(1)，(2)两种情况分别求^-11(m)^3cdot k(g)^-1 s^-2的置信水平为0.9的置信区间,并求^-11(m)^3cdot k(g)^-1 s^-2的置信水平为0.9的置信区间.

分别使用金球和铂球测定引力常数(以 $10^{-11}m^3\bullet kg^{-1}\bullet s^{-2}$ 计)

(1）用金球测定观察值为

6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672

(2）用铂球测定观察值为

6.661 6.661 6. 667 6.667 6.664

设测定值总体为 $N\left(\mu,\sigma^2\right)$ , $\mu$ , $\sigma^2$ 均为未知.试就(1)，(2)两种情况分别求 $\mu$ 的置信水平为0.9的置信区间,并求 $\sigma^2$ 的置信水平为0.9的置信区间.

题目解答

答案

（1）通过计算得 $\overline{x}=6.678,n=6,s^2=0.00387^2,1-\alpha=0.9$

∴ $\frac{\alpha}{2}=0.05$

查表得， $t_{0.05}\left(5\right)=2.0150$

∴ $\mu$ 的置信水平为0.9的置信区间为 $\left(\overline{x}\pm\frac{s}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}\left(n-1\right)\right)=\left(6.678\pm\frac{0.00387}{\sqrt{6}}\times2.0150\right)=\left(6.678\pm0.003\right)=\left(6.675,6.681\right)$

∵查表得， $χ_{0.05}^2\left(5\right)=11.071,χ_{0.095}^2\left(5\right)=1.145$

$\sigma^2$ 的置信水平为0.9的置信区间为

$\left(\frac{\left(6-1\right)\times0.00387^2}{11.071},\frac{\left(6-1\right)\times0.00387^2}{1.145}\right)=\left(6.8\times10^{-6},6.5\times10^{-5}\right)$

（2） $\overline{x}=6.664,n=5,s^2=0.003^2,1-\alpha=0.9$

查表得 $χ_{0.05}^2\left(4\right)=9.488,χ_{0.95}^2\left(4\right)=0.711,t_{0.05}\left(4\right)=2.1318$

同理可得 $\mu$ 的置信水平为0.9的置信区间为 $\left(\overline{x}\pm\frac{s}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}\left(n-1\right)\right)=\left(6.664\pm\frac{0.003}{\sqrt{5}}\times2.1318\right)=\left(6.664\pm0.003\right)=\left(6.661,6.667\right)$

$\sigma^2$ 的置信水平为0.9的置信区间为

$\left(\frac{\left(5-1\right)\times0.003^2}{9.488},\frac{\left(5-1\right)\times0.003^2}{0.711}\right)=\left(3.8\times10^{-6},5.06\times10^{-5}\right)$

解析

步骤 1：计算金球测定的均值和方差
根据给出的金球测定观察值，计算均值$\overline{x}$和方差${s}^{2}$。
步骤 2：计算铂球测定的均值和方差
根据给出的铂球测定观察值，计算均值$\overline{x}$和方差${s}^{2}$。
步骤 3：确定置信水平和自由度
置信水平为0.9，自由度为n-1。
步骤 4：查找t分布表和卡方分布表
根据置信水平和自由度，查找t分布表和卡方分布表，得到相应的临界值。
步骤 5：计算置信区间
根据均值、方差、自由度和临界值，计算置信区间。