对于随机变量 X 与 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则（）A. D(XY)=D(X)D(Y)B. D(X-Y)=D(X)-D(Y)C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. X 与 Y 相互独立

考查要点：本题主要考查随机变量的协方差、方差性质以及独立性的关系。
解题核心：

1. 协方差为零的条件（即 $E(XY)=E(X)E(Y)$）说明 $X$ 与 $Y$ 不相关，但不独立（除非满足特定分布条件）。
2. 方差的性质：
   • $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\text{Cov}(X,Y)$
   • 当 $\text{Cov}(X,Y)=0$ 时，$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$。

破题关键：

• 明确协方差与方差的关系，排除干扰选项。
• 区分“不相关”与“独立”的区别。

选项分析

选项A：$D(XY)=D(X)D(Y)$

• 错误。方差的乘积与乘积的方差无直接关系，除非特殊条件（如独立且方差为0），但题目未给出独立性。

选项B：$D(X-Y)=D(X)-D(Y)$

• 错误。正确公式为：
  $D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\text{Cov}(X,Y)$
  由于 $\text{Cov}(X,Y)=0$，实际结果为 $D(X)+D(Y)$，而非 $D(X)-D(Y)$。

选项C：$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

• 正确。根据方差性质：
  $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$
  代入 $\text{Cov}(X,Y)=0$，得 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$。

选项D：$X$ 与 $Y$ 相互独立

• 错误。不相关（协方差为0） 并不等价于 独立，除非变量服从正态分布等特殊情况。