为推断妇女嗜酒对下一代智力的影响,美国的Jones医生于1974年观察了母亲在妊娠期患慢性酒精中毒的七岁儿童6名(第一组),同时为了比较,观察了母亲不饮酒的46名七岁儿童(第二组)。两组母亲的年龄,文化程度,婚姻状况等情况相似。测定两组儿童的智商,结果为x1=78,x1=19, x1=99,x1=16。假设两组儿童的智商分别服从Nx1和Nx1 。 (1)给出第一组儿童智商的95%的置信区间; (2)两总体的方差是否相等？即检验x1 (3)第一组儿童的智力是否显著低于第二组的？即检验x1 ，x1x1

1. 问题（1）：考查单个正态总体均值的置信区间。由于第一组样本量较小（n=6），总体方差未知，需用t分布计算置信区间。
2. 问题（2）：检验两总体方差是否相等，需使用F检验。关键在于计算F统计量并判断是否落在拒绝域。
3. 问题（3）：比较两总体均值差异，需根据问题（2）的结论选择t检验类型（方差相等时用合并方差t检验），并注意单侧检验的临界值。

（1）第一组儿童智商的95%置信区间

确定统计量与公式

• 第一组样本均值 $\bar{x}_1 = 78$，样本方差 $s_1^2 = 19^2 = 361$，样本量 $n_1 = 6$。
• 自由度 $df = n_1 - 1 = 5$，查t表得 $t_{0.975}(5) = 2.57$。
• 置信区间公式：
  $\bar{x}_1 \pm t_{\alpha/2}(df) \cdot \frac{s_1}{\sqrt{n_1}}$

代入计算

$78 \pm 2.57 \cdot \frac{19}{\sqrt{6}} \approx 78 \pm 2.57 \cdot 7.73 \approx 78 \pm 19.91$
即置信区间为 $(58.09, 97.91)$。

（2）检验方差齐性

计算F统计量

• 第一组方差 $s_1^2 = 361$，第二组方差 $s_2^2 = 16^2 = 256$。
• F统计量：
  $F = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{361}{256} \approx 1.41$

判断临界值

• 自由度 $df_1 = 5$，$df_2 = 45$，查表得 $F_{0.05}(5,45) = 2.43$，$F_{0.95}(5,45) = 1/4.45 \approx 0.2247$。
• $0.2247 < 1.41 < 2.43$，未落在拒绝域，故接受$H_0$，方差相等。

（3）检验第一组均值是否显著低于第二组

选择检验方法

• 由（2）知方差相等，使用合并方差t检验：
  $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} = \frac{5 \cdot 361 + 45 \cdot 256}{6 + 46 - 2} = 266.5$
  $s_p = \sqrt{266.5} \approx 16.32$

计算t统计量

$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} = \frac{78 - 99}{16.32 \cdot \sqrt{\frac{1}{6} + \frac{1}{46}}} \approx \frac{-21}{16.32 \cdot 0.42} \approx -3.03$

判断临界值

• 自由度 $df = n_1 + n_2 - 2 = 50$，单侧临界值 $t_{0.05}(50) = 1.68$。
• $t = -3.03 < -1.68$，拒绝$H_0$，结论：$\mu_1 < \mu_2$。