某厂生产的某种型号的电池服从正态分布N(μ,5000)，现有一批这种电池，从生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机取26只电池，测出其寿命的样本方差S²=9200，问：(1)总体方差σ²的置信水平为98%的置信区间；(2)在显著性水平0.02下，这批电池的寿命较以往是否有显著性变化(保留到小数点后第三位)(chi_(0.01)^2(25)=44.314,chi_(0.99)^2(25)=11.524)

本题主要考查正态总体方差的置信区间估计以及假设检验的知识。

（1）求总体方差$\sigma^{2}$的置信水平为$98\%$的置信区间

• 确定相关参数：
  • 已知样本方差$S^{2}=9200$，样本大小$n = 26$，则自由度$df=n - 1=26 - 1 = 25$。
  • 对于置信水平$1-\alpha=0.98$，可得$\alpha = 1 - 0.98=0.02$，$\frac{\alpha}{2}=0.01$，$1-\frac{\alpha}{2}=0.99$。
• 选择合适的分布和公式：
  • 当总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$时，$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$，总体方差$\sigma^{2}$的置信水平为$1-\alpha$的置信区间为$\left(\frac{(n - 1)S^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)},\frac{(n - 1)S^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)}\right)$。
• 代入数据计算：
  • 已知$\chi_{0.01}^{2}(25)=44.314$，$\chi_{0.99}^{2}(25)=11.524$，将$n = 26$，$S^{2}=9200$，$\chi_{0.01}^{2}(25)=44.314$，$\chi_{0.99}^{2}(25)=11.524$代入置信区间公式可得：
    $\frac{(n - 1)S^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)}=\frac{25\times9200}{44.314}\approx5190.431$
    $\frac{(n - 1)S^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)}=\frac{25\times9200}{11.524}\approx20000.000$
    所以总体方差$\sigma^{2}$的置信水平为$98\%$的置信区间为$(5190.431,20000.000)$。

（2）在显著性水平$0.02$下，检验这批电池的寿命较以往是否有显著性变化

• 提出假设：
  • 原假设$H_{0}:\sigma^{2}=5000$，备择假设$H_{1}:\sigma^{2}\neq5000$。
• 确定检验统计量：
  • 检验统计量为$\chi^{2}=\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}}$，其中$\sigma_{0}^{2}=5000$。
• 计算检验统计量的值：
  • 将$n = 26$，$S^{2}=9200$，$\sigma_{0}^{2}=5000$代入检验统计量公式可得：
    $\chi^{2}=\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}}=\frac{25\times9200}{5000}=46$
• 确定临界值：
  • 已知$\alpha = 0.02$，自由度$n - 1 = 25$，则临界值为$\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)=\chi_{0.01}^{2}(25)=44.314$和$\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)=\chi_{0.99}^{2}(25)=11.524$。
• 做出决策：
  • 因为$\chi^{2}=46>44.314=\chi_{0.01}^{2}(25)$，落在拒绝域内，所以拒绝原假设$H_{0}$，即认为这批电池的寿命较以往有显著性变化。