题目
8 监测站对某条河流的溶解氧(DO)浓度(单位：mg/l)记录了30个数据，并由此算得overline(x)=2.52，s=2.05，已知这条河流每日的溶解氧浓度服从正态分布N(μ，σ²)，试在显著性水平α=0.05下，检验假设H_(0)：μ=2.7，H_(1)：μ<2.7.
8 监测站对某条河流的溶解氧(DO)浓度(单位：mg/l)记录了30个数据，并由此算得$\overline{x}$=2.52，s=2.05，已知这条河流每日的溶解氧浓度服从正态分布N(μ，σ²)，试在显著性水平α=0.05下，检验假设$H_{0}$：μ=2.7，$H_{1}$：μ<2.7.
题目解答
答案
检验统计量为：
\[ T = \frac{\sqrt{30}(\overline{X} - \mu_0)}{S} = \frac{\sqrt{30}(2.52 - 2.7)}{2.05} \approx -0.481 \]
对于显著性水平 $\alpha = 0.05$，自由度为 $n-1 = 29$，查 t 分布表得临界值 $t_{0.95}(29) \approx 1.6991$。拒绝域为 $T < -1.6991$。
由于 $-0.481 > -1.6991$，不拒绝 $H_0$。
**答案：**
不能拒绝原假设 $H_0: \mu = 2.7$。
解析
本题考查正态总体均值的 t 检验。解题思路如下：
- 首先明确本题是在总体方差 $\sigma^2$ 未知的情况下，对正态总体均值 $\mu$ 进行假设检验，应使用 t 检验。
- 确定原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$，本题中 $H_0$：$\mu = 2.7$，$H_1$：$\mu < 2.7$。
- 计算检验统计量 $T$，其公式为 $T=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu_0)}{S}$，其中 $n$ 是样本容量，$\overline{X}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是原假设中的总体均值，$S$ 是样本标准差。
- 已知 $n = 30$，$\overline{x}=2.52$，$\mu_0 = 2.7$，$s = 2.05$，将这些值代入公式可得：
$\begin{align*}T&=\frac{\sqrt{30}(\overline{X}-\mu_0)}{S}\\&=\frac{\sqrt{30}(2.52 - 2.7)}{2.05}\\&=\frac{5.477\times(-0.18)}{2.05}\\&=\frac{-0.98586}{2.05}\\&\approx - 0.481\end{align*}$
- 已知 $n = 30$，$\overline{x}=2.52$，$\mu_0 = 2.7$，$s = 2.05$，将这些值代入公式可得：
- 确定自由度 $df=n - 1$，本题中 $df=30 - 1=29$。
- 根据显著性水平 $\alpha = 0.05$ 和备择假设 $H_1$：$\mu < 2.7$，确定拒绝域。因为是单侧检验，查 t 分布表得临界值 $t_{\alpha}(n - 1)=t_{0.05}(29)$，而 $t_{0.95}(29)\approx1.6991$，拒绝域为 $T < -t_{0.95}(29)=-1.6991$。
- 比较检验统计量 $T$ 的值和临界值的大小，判断是否拒绝原假设。由于 $-0.481>-1.6991$，即检验统计量的值不在拒绝域内，所以不拒绝原假设 $H_0$。