题目
5【判断题】若随机变量X,Y满足Y=5X-2,则rho_(XY)=5。A. 对B. 错
5【判断题】若随机变量X,Y满足Y=5X-2,则$\rho_{XY}=5$。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：计算协方差
根据协方差的性质，对于任何常数 $a$ 和 $b$，$\text{Cov}(X, aX + b) = a \text{Cov}(X, X) = a \sigma_X^2$。因此，我们有： \[ \text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(X, 5X - 2) = 5 \text{Cov}(X, X) = 5 \sigma_X^2 \]
步骤 2：计算标准差
根据标准差的性质，对于任何常数 $a$ 和 $b$，$\sigma_{aX + b} = |a| \sigma_X$。因此，我们有： \[ \sigma_Y = \sigma_{5X - 2} = |5| \sigma_X = 5 \sigma_X \]
步骤 3：计算相关系数
将 $\text{Cov}(X, Y)$ 和 $\sigma_Y$ 代入相关系数的公式中： \[ \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{5 \sigma_X^2}{\sigma_X \cdot 5 \sigma_X} = \frac{5 \sigma_X^2}{5 \sigma_X^2} = 1 \]
根据协方差的性质，对于任何常数 $a$ 和 $b$，$\text{Cov}(X, aX + b) = a \text{Cov}(X, X) = a \sigma_X^2$。因此，我们有： \[ \text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(X, 5X - 2) = 5 \text{Cov}(X, X) = 5 \sigma_X^2 \]
步骤 2：计算标准差
根据标准差的性质，对于任何常数 $a$ 和 $b$，$\sigma_{aX + b} = |a| \sigma_X$。因此，我们有： \[ \sigma_Y = \sigma_{5X - 2} = |5| \sigma_X = 5 \sigma_X \]
步骤 3：计算相关系数
将 $\text{Cov}(X, Y)$ 和 $\sigma_Y$ 代入相关系数的公式中： \[ \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{5 \sigma_X^2}{\sigma_X \cdot 5 \sigma_X} = \frac{5 \sigma_X^2}{5 \sigma_X^2} = 1 \]