将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于?

考查要点：本题主要考查相关系数的理解与计算，以及随机变量之间的线性关系分析。

解题核心思路：

1. 明确题目中两个随机变量X（正面向上次数）和Y（反面向上次数）的关系：X + Y = n（总试验次数固定）。
2. 根据线性关系 Y = n - X，推导出X与Y为完全线性关系，且斜率为负，因此相关系数必为-1。
3. 通过协方差与方差的公式验证这一结论。

破题关键点：

• 线性关系的存在性：Y是X的严格线性变换，直接决定相关系数的绝对值为1。
• 斜率的符号：Y = n - X的斜率为-1，因此相关系数为负，即-1。

步骤1：建立变量关系

每次掷硬币的结果只能是正面或反面，因此总次数满足：
$X + Y = n$
即 Y = n - X。

步骤2：计算协方差

协方差公式为：
$\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(X, n - X) = -\text{Cov}(X, X) = -\text{Var}(X)$
由于X服从二项分布B(n, p)，方差为：
$\text{Var}(X) = np(1-p)$
因此：
$\text{Cov}(X, Y) = -np(1-p)$

步骤3：计算标准差

X和Y的方差均为：
$\text{Var}(X) = \text{Var}(Y) = np(1-p)$
标准差为：
$\sigma_X = \sigma_Y = \sqrt{np(1-p)}$

步骤4：计算相关系数

相关系数公式为：
$\rho_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{-np(1-p)}{np(1-p)} = -1$