4.[单选题] 设X的概率密度为f(x)=(1)/(pi(1+x^2))，则Y=2X的概率密度为（）。A. (1)/(pi(1+4y^2))B. (1)/(pi(4+y)^2)C. (2)/(pi(4+y^2))

本题考查随机变量函数的概率密度的求解，解题思路是先求出$Y = 2X$的分布函数$F_Y(y)$，再对分布函数求导得到概率密度$f_Y(y)$。

步骤一：求$Y = 2X$的分布函数$F_Y(y)$

分布函数的定义为$F_Y(y)=P(Y\leq y)$，已知$Y = 2X$，则$F_Y(y)=P(2X\leq y)=P(X\leq\frac{y}{2})$。
因为$X$的分布函数$F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，所以$F_Y(y)=F_X(\frac{y}{2})=\int_{-\infty}^{\frac{y}{2}}f(t)dt$，其中$f(x)=\frac{1}{\pi(1 + x^2)}$。

步骤二：对$F_Y(y)$求导得到概率密度$f_Y(y)$

根据复合函数求导法则，若$F_Y(y)=F_X(\frac{y}{2})$，则$f_Y(y)=\frac{dF_Y(y)}{dy}=F_X^\prime(\frac{y}{2})\cdot(\frac{y}{2})^\prime$。
因为$F_X^\prime(x)=f(x)$，所以$F_X^\prime(\frac{y}{2})=f(\frac{y}{2})=\frac{1}{\pi(1 + (\frac{y}{2})^2)}$，$(\frac{y}{2})^\prime=\frac{1}{2}$。
则$f_Y(y)=f(\frac{y}{2})\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{\pi(1 + (\frac{y}{2})^2)}\cdot\frac{1}{2}$。

步骤三：化简$f_Y(y)$

对$f_Y(y)=\frac{1}{\pi(1 + (\frac{y}{2})^2)}\cdot\frac{1}{2}$进行化简：
$\begin{align*}f_Y(y)&=\frac{1}{\pi(1 + \frac{y^2}{4})}\cdot\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{\pi(\frac{4 + y^2}{4})}\cdot\frac{1}{2}\\&=\frac{4}{\pi(4 + y^2)}\cdot\frac{1}{2}\\&=\frac{2}{\pi(4 + y^2)}\end{align*}$