题目
将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数，试求X和Y的相关系数ρXY。
将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数，试求X和Y的相关系数ρXY。
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量
设随机变量 $X$ 表示正面向上的次数，$Y$ 表示反面向上的次数。由于硬币是公平的，所以每次投掷正面向上的概率为 $p = \frac{1}{2}$，反面向上的概率为 $q = \frac{1}{2}$。
步骤 2：计算方差
由于 $X$ 和 $Y$ 都服从二项分布 $B(n, p)$，其中 $p = \frac{1}{2}$，所以它们的方差分别为：
$$D(X) = npq = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{4}$$
$$D(Y) = npq = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{4}$$
步骤 3：计算协方差
由于 $X + Y = n$，所以 $Y = n - X$。因此，$X$ 和 $Y$ 的协方差为：
$$Cov(X, Y) = Cov(X, n - X) = Cov(X, -X) = -D(X) = -\frac{n}{4}$$
步骤 4：计算相关系数
相关系数 $\rho_{XY}$ 为协方差除以标准差的乘积，即：
$$\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)}} = \frac{-\frac{n}{4}}{\sqrt{\frac{n}{4}} \cdot \sqrt{\frac{n}{4}}} = \frac{-\frac{n}{4}}{\frac{n}{4}} = -1$$
设随机变量 $X$ 表示正面向上的次数，$Y$ 表示反面向上的次数。由于硬币是公平的，所以每次投掷正面向上的概率为 $p = \frac{1}{2}$，反面向上的概率为 $q = \frac{1}{2}$。
步骤 2：计算方差
由于 $X$ 和 $Y$ 都服从二项分布 $B(n, p)$，其中 $p = \frac{1}{2}$，所以它们的方差分别为：
$$D(X) = npq = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{4}$$
$$D(Y) = npq = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{4}$$
步骤 3：计算协方差
由于 $X + Y = n$，所以 $Y = n - X$。因此，$X$ 和 $Y$ 的协方差为：
$$Cov(X, Y) = Cov(X, n - X) = Cov(X, -X) = -D(X) = -\frac{n}{4}$$
步骤 4：计算相关系数
相关系数 $\rho_{XY}$ 为协方差除以标准差的乘积，即：
$$\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)}} = \frac{-\frac{n}{4}}{\sqrt{\frac{n}{4}} \cdot \sqrt{\frac{n}{4}}} = \frac{-\frac{n}{4}}{\frac{n}{4}} = -1$$