题目

设随机变量 X sim N(2, sigma^2) 且 P2 A. 0.1B. 0.4C. 0.2D. 0.3

设随机变量 $X \sim N(2, \sigma^2)$ 且 $P\{2 < X < 4\} = 0.3$，则 $P\{X < 0\} = ($ $)$.

A. 0.1

B. 0.4

C. 0.2

D. 0.3

题目解答

答案

C. 0.2

解析

本题考查正态分布的性质及概率计算。解题的关键思路是利用正态分布的对称性，将所给概率转化为标准正态分布的形式进行计算。

已知随机变量$X \sim N(2, \sigma^2)$，即$X$服从均值为$2$，方差为$\sigma^2$的正态分布。

  1. 首先，根据正态分布的标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$（其中$\mu$为均值，$\sigma$为标准差），对$P\{2 \lt X \lt 4\}$进行标准化处理：
    • 令$Z = \frac{X - 2}{\sigma}$，则$X = 2 + \sigma Z$，且$Z \sim N(0, 1)$（标准正态分布）。
    • 当$X = 2$时，$Z_1 = \frac{2 - 2}{\sigma} = 0$；当$X = 4$时，$Z_2 = \frac{4 - 2}{\sigma} = \frac{2}{\sigma}$。
    • 所以$P\{2 \lt X \lt 4\} = P\left\{0 \lt \frac{X - 2}{\sigma} \lt \frac{2}{\sigma}\right\} = P\left\{0 \lt Z \lt \frac{2}{\sigma}\right\}$。
    • 由标准正态分布的性质可知$P\left\{0 \lt Z \lt \frac{2}{\sigma}\right\} = \varPhi\left(\frac{2}{\sigma}\right) - \varPhi(0)$，其中$\varPhi(z)$是标准正态分布的分布函数，且$\varPhi(0) = 0.5$。
    • 已知$P\{2 \lt X \lt 4\} = 0.3$，即$\varPhi\left(\frac{2}{\sigma}\right) - 0.5 = 0.3$，移项可得$\varPhi\left(\frac{2}{\sigma}\right) = 0.3 + 0.5 = 0.8$。
  2. 然后，对$P\{X \lt 0\}$进行标准化处理：
    • 同样令$Z = \frac{X - 2}{\sigma}$，当$X = 0$时，$Z = \frac{0 - 2}{\sigma} = -\frac{2}{\sigma}$。
    • 所以$P\{X \lt 0\} = P\left\{\frac{X - 2}{\sigma} \lt -\frac{2}{\sigma}\right\} = P\left\{Z \lt -\frac{2}{\sigma}\right\}$。
    • 根据标准正态分布的性质$P\left\{Z \lt -\frac{2}{\sigma}\right\} = \varPhi\left(-\frac{2}{\sigma}\right)$。
    • 又因为标准正态分布的分布函数具有性质$\varPhi(-z) = 1 - \varPhi(z)$，所以$\varPhi\left(-\frac{2}{\sigma}\right) = 1 - \varPhi\left(\frac{2}{\sigma}\right)$。
    • 把$\varPhi\left(\frac{2}{\sigma}\right) = 0.8$代入上式，可得$P\{X \lt 0\} = 1 - 0.8 = 0.2$。