题目
设随机变量X和Y满足 (cov)(X,Y)=2和 (D)(Y)=1，则下列错误的是()。A. (cov)(X+2Y,Y)=6B. (cov)(X+Y,Y)=3C. (cov)(X+1,Y)=2D. (cov)(2X,Y)=4
设随机变量X和Y满足 $\text{cov}(X,Y)=2$和 $\text{D}(Y)=1$，则下列错误的是()。
A. $\text{cov}(X+2Y,Y)=6$
B. $\text{cov}(X+Y,Y)=3$
C. $\text{cov}(X+1,Y)=2$
D. $\text{cov}(2X,Y)=4$
题目解答
答案
A. $\text{cov}(X+2Y,Y)=6$
解析
步骤 1：理解协方差的性质
协方差的性质之一是：$\text{cov}(aX+bY, cZ) = ac\text{cov}(X,Z) + bc\text{cov}(Y,Z)$，其中$a$、$b$、$c$是常数，$X$、$Y$、$Z$是随机变量。
步骤 2：计算每个选项
A. $\text{cov}(X+2Y,Y)=\text{cov}(X,Y)+2\text{cov}(Y,Y)=2+2\text{D}(Y)=2+2\times1=4$，所以A选项错误。
B. $\text{cov}(X+Y,Y)=\text{cov}(X,Y)+\text{cov}(Y,Y)=2+\text{D}(Y)=2+1=3$，所以B选项正确。
C. $\text{cov}(X+1,Y)=\text{cov}(X,Y)+\text{cov}(1,Y)=2+0=2$，所以C选项正确。
D. $\text{cov}(2X,Y)=2\text{cov}(X,Y)=2\times2=4$，所以D选项正确。
协方差的性质之一是：$\text{cov}(aX+bY, cZ) = ac\text{cov}(X,Z) + bc\text{cov}(Y,Z)$，其中$a$、$b$、$c$是常数，$X$、$Y$、$Z$是随机变量。
步骤 2：计算每个选项
A. $\text{cov}(X+2Y,Y)=\text{cov}(X,Y)+2\text{cov}(Y,Y)=2+2\text{D}(Y)=2+2\times1=4$，所以A选项错误。
B. $\text{cov}(X+Y,Y)=\text{cov}(X,Y)+\text{cov}(Y,Y)=2+\text{D}(Y)=2+1=3$，所以B选项正确。
C. $\text{cov}(X+1,Y)=\text{cov}(X,Y)+\text{cov}(1,Y)=2+0=2$，所以C选项正确。
D. $\text{cov}(2X,Y)=2\text{cov}(X,Y)=2\times2=4$，所以D选项正确。