若总体 X sim N(mu, sigma^2)，其中 mu 未知，sigma^2 已知。总体均值 mu 的置信区间的长度 l 与置信度 alpha 的关系是。A. 当 alpha 变小时, l 缩短B. 当 alpha 变小时, l 不变C. 当 alpha 变小时, l 伸长D. 以上说法都不对

本题考查正态分布总体均值在方差已知情况下置信区间长度与置信度的关系，解题的关键在于明确置信区间的计算公式，进而得出置信区间长度的表达式，再分析其与置信度的变化关系。

1. 首先明确在总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 已知，$\mu$ 未知的情况下，总体均值 $\mu$ 的置信度为 $1 - \alpha$ 的置信区间为 $\left(\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$z_{\frac{\alpha}{2}}$ 是标准正态分布的上 $\frac{\alpha}{2}$ 分位点，$n$ 是样本容量。
2. 然后计算置信区间的长度 $l$：
   • 置信区间长度 $l$ 等于置信区间上限减去下限，即 $l=\left(\overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)-\left(\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$。
   • 对上式进行化简：
     $\begin{align*}l&=\overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}-\overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\\&=2z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\end{align*}$
3. 接着分析 $z_{\frac{\alpha}{2}}$ 与 $\alpha$ 的关系：
   • 标准正态分布的上 $\frac{\alpha}{2}$ 分位点 $z_{\frac{\alpha}{2}}$ 满足 $P\{Z>z_{\frac{\alpha}{2}}\}=\frac{\alpha}{2}$，其中 $Z\sim N(0,1)$。
   • 当 $\alpha$ 变小时，$\frac{\alpha}{2}$ 也变小。根据标准正态分布的性质，要使 $P\{Z>z_{\frac{\alpha}{2}}\}$ 变小，则 $z_{\frac{\alpha}{2}}$ 会增大。
4. 最后分析 $l$ 与 $\alpha$ 的关系：
   • 由 $l = 2z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 可知，$\sigma$ 和 $n$ 通常是固定的，当 $\alpha$ 变小时，$z_{\frac{\alpha}{2}}$ 增大，所以 $l$ 会伸长。