题目
设随机变量的方差和相关系数分别为，则________．解=16
设随机变量
的方差和相关系数分别为
，则
________．
解
=16
题目解答
答案
16
解析
步骤 1：计算D(2X)
根据方差的性质，$D(aX)=a^2D(X)$，其中a为常数。因此，$D(2X)=4D(X)$。
步骤 2：计算D(2X-Y)
根据方差的性质，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，其中$Cov(X,Y)$是X和Y的协方差。因此，$D(2X-Y)=D(2X)+D(Y)-2Cov(2X,Y)$。
步骤 3：计算Cov(2X,Y)
根据协方差的性质，$Cov(aX,Y)=aCov(X,Y)$，其中a为常数。因此，$Cov(2X,Y)=2Cov(X,Y)$。
步骤 4：计算Cov(X,Y)
根据相关系数的定义，${\rho }_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$。因此，$Cov(X,Y)={\rho }_{xy}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$。
步骤 5：计算D(2X-Y+1)
根据方差的性质，$D(X+c)=D(X)$，其中c为常数。因此，$D(2X-Y+1)=D(2X-Y)$。
根据方差的性质，$D(aX)=a^2D(X)$，其中a为常数。因此，$D(2X)=4D(X)$。
步骤 2：计算D(2X-Y)
根据方差的性质，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，其中$Cov(X,Y)$是X和Y的协方差。因此，$D(2X-Y)=D(2X)+D(Y)-2Cov(2X,Y)$。
步骤 3：计算Cov(2X,Y)
根据协方差的性质，$Cov(aX,Y)=aCov(X,Y)$，其中a为常数。因此，$Cov(2X,Y)=2Cov(X,Y)$。
步骤 4：计算Cov(X,Y)
根据相关系数的定义，${\rho }_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$。因此，$Cov(X,Y)={\rho }_{xy}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$。
步骤 5：计算D(2X-Y+1)
根据方差的性质，$D(X+c)=D(X)$，其中c为常数。因此，$D(2X-Y+1)=D(2X-Y)$。