题目
设 _(1),(X)_(2)是来自总体 X 的简单随机样本总体 _(1),(X)_(2) 则_(1),(X)_(2) 的密度函数为
设 
是来自总体 X 的简单随机样本总体 
则
的密度函数为
题目解答
答案
由服从均匀分布总体 ，则概率密度
为
∵为连续型随机变量
由卷积公式，得概率密度为
则当
时
故 的密度函数为
解析
步骤 1：确定总体分布
总体 $X\sim U(0,1)$，即 $X$ 服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布。其概率密度函数为
$$
f(x) = \begin{cases}
1, & 0 < x < 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
步骤 2：确定 $Y = X_1 + X_2$ 的分布
$Y = X_1 + X_2$ 是两个独立的均匀分布随机变量之和。由于 $X_1$ 和 $X_2$ 都服从 $U(0,1)$，则 $Y$ 的概率密度函数可以通过卷积公式求得。卷积公式为
$$
f_{X_1 + X_2}(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X_1}(y - x_2) f_{X_2}(x_2) \, dx_2
$$
由于 $X_1$ 和 $X_2$ 的概率密度函数都是 $f(x) = 1$ 在 $(0,1)$ 区间内，所以
$$
f_{X_1 + X_2}(y) = \int_{0}^{1} f_{X_1}(y - x_2) \, dx_2
$$
当 $0 < y < 1$ 时，$f_{X_1}(y - x_2) = 1$，所以
$$
f_{X_1 + X_2}(y) = \int_{0}^{y} 1 \, dx_2 = y
$$
当 $1 \leq y < 2$ 时，$f_{X_1}(y - x_2) = 1$，所以
$$
f_{X_1 + X_2}(y) = \int_{y-1}^{1} 1 \, dx_2 = 2 - y
$$
当 $y \leq 0$ 或 $y \geq 2$ 时，$f_{X_1 + X_2}(y) = 0$。
步骤 3：总结 $Y = X_1 + X_2$ 的密度函数
根据上述分析，$Y = X_1 + X_2$ 的密度函数为
$$
f(y) = \begin{cases}
y, & 0 < y < 1 \\
2 - y, & 1 \leq y < 2 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
总体 $X\sim U(0,1)$，即 $X$ 服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布。其概率密度函数为
$$
f(x) = \begin{cases}
1, & 0 < x < 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
步骤 2：确定 $Y = X_1 + X_2$ 的分布
$Y = X_1 + X_2$ 是两个独立的均匀分布随机变量之和。由于 $X_1$ 和 $X_2$ 都服从 $U(0,1)$，则 $Y$ 的概率密度函数可以通过卷积公式求得。卷积公式为
$$
f_{X_1 + X_2}(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X_1}(y - x_2) f_{X_2}(x_2) \, dx_2
$$
由于 $X_1$ 和 $X_2$ 的概率密度函数都是 $f(x) = 1$ 在 $(0,1)$ 区间内，所以
$$
f_{X_1 + X_2}(y) = \int_{0}^{1} f_{X_1}(y - x_2) \, dx_2
$$
当 $0 < y < 1$ 时，$f_{X_1}(y - x_2) = 1$，所以
$$
f_{X_1 + X_2}(y) = \int_{0}^{y} 1 \, dx_2 = y
$$
当 $1 \leq y < 2$ 时，$f_{X_1}(y - x_2) = 1$，所以
$$
f_{X_1 + X_2}(y) = \int_{y-1}^{1} 1 \, dx_2 = 2 - y
$$
当 $y \leq 0$ 或 $y \geq 2$ 时，$f_{X_1 + X_2}(y) = 0$。
步骤 3：总结 $Y = X_1 + X_2$ 的密度函数
根据上述分析，$Y = X_1 + X_2$ 的密度函数为
$$
f(y) = \begin{cases}
y, & 0 < y < 1 \\
2 - y, & 1 \leq y < 2 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$