题目
根据设计,某零件的内径标准差不得超过0.30厘米,现从该产品中随机抽验了25件,测得样本标准差为,问检验结果是否说明该产品的标准差增大了?
根据设计,某零件的内径标准差不得超过0.30厘米,现从该产品中随机抽验了25件,测得样本标准差为
,问检验结果是否说明该产品的标准差增大了?
题目解答
答案
解:由题意可知,这是关于总体方差的右单侧检验问题,其假设检验过程如下:
(1)建立假设:
(2)选择并计算统计量:
(3)确定临界值:因为显著性水平
,所以右单侧临界值
.
(4)进行统计决策:因
,故不拒绝原假设,即检验结果不能说明该产品的标准差增大了。
解析
步骤 1：建立假设
根据题意，我们需要检验总体方差是否增大。因此，我们建立以下假设：
- 原假设 ${H}_{0}$：总体方差 ${\sigma}^{2} \leqslant {0.30}^{2}$
- 备择假设 ${H}_{1}$：总体方差 ${\sigma}^{2} > {0.30}^{2}$
步骤 2：选择并计算统计量
我们使用卡方检验统计量来检验方差。卡方检验统计量的计算公式为：
${\chi}^{2} = \dfrac{(n-1){S}^{2}}{{\sigma}^{2}}$
其中，$n$ 是样本容量，$S$ 是样本标准差，${\sigma}^{2}$ 是总体方差。
将已知数据代入公式，得到：
${\chi}^{2} = \dfrac{(25-1)\times {0.36}^{2}}{{0.30}^{2}} = 34.56$
步骤 3：确定临界值
因为显著性水平 $\alpha = 0.05$，所以右单侧临界值 ${\chi}^{2}_{0.05,24} = 36.415$。这里，24 是自由度，等于样本容量减1。
步骤 4：进行统计决策
比较计算得到的卡方值 ${\chi}^{2} = 34.56$ 和临界值 ${\chi}^{2}_{0.05,24} = 36.415$。因为 ${\chi}^{2} = 34.56 < 36.415$，所以不拒绝原假设。这意味着检验结果不能说明该产品的标准差增大了。
根据题意，我们需要检验总体方差是否增大。因此，我们建立以下假设：
- 原假设 ${H}_{0}$：总体方差 ${\sigma}^{2} \leqslant {0.30}^{2}$
- 备择假设 ${H}_{1}$：总体方差 ${\sigma}^{2} > {0.30}^{2}$
步骤 2：选择并计算统计量
我们使用卡方检验统计量来检验方差。卡方检验统计量的计算公式为：
${\chi}^{2} = \dfrac{(n-1){S}^{2}}{{\sigma}^{2}}$
其中，$n$ 是样本容量，$S$ 是样本标准差，${\sigma}^{2}$ 是总体方差。
将已知数据代入公式，得到：
${\chi}^{2} = \dfrac{(25-1)\times {0.36}^{2}}{{0.30}^{2}} = 34.56$
步骤 3：确定临界值
因为显著性水平 $\alpha = 0.05$，所以右单侧临界值 ${\chi}^{2}_{0.05,24} = 36.415$。这里，24 是自由度，等于样本容量减1。
步骤 4：进行统计决策
比较计算得到的卡方值 ${\chi}^{2} = 34.56$ 和临界值 ${\chi}^{2}_{0.05,24} = 36.415$。因为 ${\chi}^{2} = 34.56 < 36.415$，所以不拒绝原假设。这意味着检验结果不能说明该产品的标准差增大了。