题目
18.9次测定某矿样中铁的质量分数,平均值为28.50%, =0.5% , 计算:-|||-(1)μ的置信区间;-|||-(2)若上述数据均为5次测定的结果,的置信区间又为多少?比较两次-|||-计算结果可得出什么结论(P均为95 %),并解释其原因?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定置信区间
置信区间是根据样本数据估计总体参数的范围。对于小样本（n<30），我们使用t分布来计算置信区间。置信区间的公式为：
$$
\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
其中，$\bar{x}$是样本均值，$t_{\alpha/2, n-1}$是t分布的临界值，$s$是样本标准差，$n$是样本大小。
步骤 2：计算9次测定的置信区间
对于9次测定，$n=9$，$\bar{x}=28.50\%$，$s=0.5\%$。95%的置信水平对应于$\alpha=0.05$，自由度为$n-1=8$。查t分布表，$t_{0.025, 8}=2.306$。代入公式计算：
$$
28.50\% \pm 2.306 \cdot \frac{0.5\%}{\sqrt{9}} = 28.50\% \pm 0.38\%
$$
步骤 3：计算5次测定的置信区间
对于5次测定，$n=5$，$\bar{x}=28.50\%$，$s=0.5\%$。95%的置信水平对应于$\alpha=0.05$，自由度为$n-1=4$。查t分布表，$t_{0.025, 4}=2.776$。代入公式计算：
$$
28.50\% \pm 2.776 \cdot \frac{0.5\%}{\sqrt{5}} = 28.50\% \pm 0.62\%
$$
步骤 4：比较两次计算结果
比较两次计算结果，可以看出，当样本大小从9次减少到5次时，置信区间的宽度变大。这是因为样本大小越小，估计的不确定性越大，置信区间也就越宽。这说明增加样本大小可以提高估计的精确度。
置信区间是根据样本数据估计总体参数的范围。对于小样本（n<30），我们使用t分布来计算置信区间。置信区间的公式为：
$$
\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
其中，$\bar{x}$是样本均值，$t_{\alpha/2, n-1}$是t分布的临界值，$s$是样本标准差，$n$是样本大小。
步骤 2：计算9次测定的置信区间
对于9次测定，$n=9$，$\bar{x}=28.50\%$，$s=0.5\%$。95%的置信水平对应于$\alpha=0.05$，自由度为$n-1=8$。查t分布表，$t_{0.025, 8}=2.306$。代入公式计算：
$$
28.50\% \pm 2.306 \cdot \frac{0.5\%}{\sqrt{9}} = 28.50\% \pm 0.38\%
$$
步骤 3：计算5次测定的置信区间
对于5次测定，$n=5$，$\bar{x}=28.50\%$，$s=0.5\%$。95%的置信水平对应于$\alpha=0.05$，自由度为$n-1=4$。查t分布表，$t_{0.025, 4}=2.776$。代入公式计算：
$$
28.50\% \pm 2.776 \cdot \frac{0.5\%}{\sqrt{5}} = 28.50\% \pm 0.62\%
$$
步骤 4：比较两次计算结果
比较两次计算结果，可以看出，当样本大小从9次减少到5次时，置信区间的宽度变大。这是因为样本大小越小，估计的不确定性越大，置信区间也就越宽。这说明增加样本大小可以提高估计的精确度。