设sim U((theta )_(1),(theta )_(2)) X1,X2,···,Nn是来自该总体的样本,求该样本的联合密度函数.

步骤 1：确定单个随机变量的概率密度函数
给定$X\sim U({\theta }_{1},{\theta }_{2})$，即$X$服从区间$({\theta }_{1},{\theta }_{2})$上的均匀分布。均匀分布的概率密度函数$f(x)$为：
$$
f(x)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{{\theta }_{2}-{\theta }_{1}},{\theta }_{1}\lt x \lt {\theta }_{2}\\ 0,else\end{matrix} \right.
$$
步骤 2：确定样本的联合密度函数
样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$是独立同分布的，因此样本的联合密度函数是每个随机变量概率密度函数的乘积。对于均匀分布，联合密度函数$f(X_1,X_2,\cdots,X_n)$为：
$$
f(X_1,X_2,\cdots,X_n)=\prod_{i=1}^{n}f(X_i)=\prod_{i=1}^{n}\left(\dfrac{1}{{\theta }_{2}-{\theta }_{1}}\right)
$$
步骤 3：简化联合密度函数
由于每个$f(X_i)$都是$\dfrac{1}{{\theta }_{2}-{\theta }_{1}}$，联合密度函数可以简化为：
$$
f(X_1,X_2,\cdots,X_n)=\left(\dfrac{1}{{\theta }_{2}-{\theta }_{1}}\right)^n
$$