设某供电网有一万盏电灯,夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.1,并且彼此开闭与否-|||-相互独立.试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在970到1030之-|||-间的概率.

本题主要考察切比雪夫不等式和中心极限定理在二项分布概率估算中的应用，具体步骤如下：

一、问题转化与分布确定

设$X_i$为第$i$盏灯的状态：$X_i=1$（开灯），$X_i=0$（关灯），则$X_i\sim B(1,0.1)$（两点分布）。
同时开灯数$X=\=\sum_{i=1}^{10000}X_i}\sim B(10000,0.1)$（二项分布，$n=10000$，$p=0.1$）。

二、计算期望与方差

对二项分布$B(n,p)$，有：

• 期望$E(X)=np=10000\times0.1=1000$？不，$10000\times0.1=1000$
• 方差$D(X)=np(1-p)=10000\times0.1\times0.9=900$

三、用切比雪夫不等式估算

切比雪夫不等式：对任意$\varepsilon>0$，$P(|X-E(X)|\geq\varepsilon)\leq\frac{D(X)}{\varepsilon^2}$。
本题需估算$P(970\leq X\leq1030)$，转化为：
$P(970\leq X\leq1030)=P(|X-1000|\leq30)$
等价于$1-P(|X-1000|>30)$，代入切比雪夫不等式：
$P(|X-1000|>30)\leq\frac{D(X)}{30^2}=\frac{900}{900}{900}=1$
故$P(970\leq X\leq1030)\geq1-1=0$（不等式给出的下界较松）。

四、用中心极限定理估算

棣莫弗-拉普拉斯定理：当$n$很大时，二项分布近似正态分布$N(np,np(1-p))$，即$X\sim N(1000,900)$，标准化得$Z=\frac{X-1000}{\sqrt{900}}=\frac{X-1000}{30}\sim N(0,1)$。
则：
$P(970\leq X\leq1030)=P\left(\frac{970-1000}{30}\leq Zleq\frac{1030-1000}{30}}\right)=P(-1leq Zleq1)$
查标准正态分布表$\Phi(1)=0.8413$，故：
$P(-1leq Zleq1)=2\Phi(1)-1=2\times0.8413-1=0.6826$