1.已知离散型均匀总体X,其分布律为-|||-X 2 4 6-|||-pi 1/3 1/3 1/3-|||-取容量为 n=54 的样本,求:-|||-(2)样本均值X超过4.5的概率.

步骤 1：计算总体均值和方差
总体均值 \(E(X) = \sum_{i=1}^{3} x_i p_i = 2 \times \frac{1}{3} + 4 \times \frac{1}{3} + 6 \times \frac{1}{3} = 4\)
总体方差 \(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum_{i=1}^{3} x_i^2 p_i - 4^2 = (2^2 \times \frac{1}{3} + 4^2 \times \frac{1}{3} + 6^2 \times \frac{1}{3}) - 16 = \frac{56}{3} - 16 = \frac{8}{3}\)

步骤 2：计算样本均值的分布
样本均值 \(X\) 的期望值 \(E(X) = E(X) = 4\)
样本均值 \(X\) 的方差 \(Var(X) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{\frac{8}{3}}{54} = \frac{4}{81}\)
样本均值 \(X\) 的标准差 \(\sigma_X = \sqrt{\frac{4}{81}} = \frac{2}{9}\)

步骤 3：计算样本均值超过4.5的概率
样本均值 \(X\) 超过4.5的概率 \(P(X > 4.5) = P\left(\frac{X - 4}{\frac{2}{9}} > \frac{4.5 - 4}{\frac{2}{9}}\right) = P(Z > 2.25)\)
其中 \(Z\) 是标准正态分布的随机变量，查标准正态分布表得 \(P(Z > 2.25) = 1 - P(Z \leq 2.25) = 1 - 0.9878 = 0.0122\)