题目

今有甲,乙两名射手轮流对同一目标进行射击,甲命中的概率0.2,乙命中的概率0.3,甲先射,谁先命中谁得胜,则甲获胜的概率为( ). A .;B . ;C . ;D . .

今有甲,乙两名射手轮流对同一目标进行射击,甲命中的概率0.2,乙命中的概率0.3,甲先射,谁先命中谁得胜,则甲获胜的概率为( ).

A . $\frac{4}{11}$ ;

B . $\frac{5}{11}$ ;

C . $\frac{6}{11}$ ;

D . $\frac{7}{11}$ .

题目解答

1. 甲第一次就命中

甲第一次射击命中的概率为 $0.2$ 。

2. 甲第一次未命中，乙也未命中，甲第二次命中

甲第一次未命中的概率为 $1-0.2=0.8$ ，乙未命中的概率为 $1-0.3=0.7$ ，则这种情况下甲第二次命中的概率为 $0.8\times0.7\times0.2$ 。

3甲第一次、第二次未命中，乙两次未命中，甲第三次命中

依次类推，这种情况下甲第三次命中的概率为 $0.8×0.7×0.8×0.7×0.2$ 。

4. 以此类推

甲获胜的概率为甲第一次命中，加上甲第二次命中，加上甲第三次命中……的概率之和。

$0.2 + 0.8×0.7×0.2 + 0.8×0.7×0.8×0.7×0.2 + \cdots$

$=0.2\times\left(1+0.8\times0.7+\left(0.8\times0.7\right)^2+\cdots\right)$

这是一个无穷等比数列求和，首项为 $1$ ，公比为 $0.8×0.7$ 。

$0.2\times\frac{1}{1-0.8\times0.7}$

$=0.2\times\frac{1}{1-0.56}$

$=0.2\times\frac{1}{0.44}$

$=\frac{0.2}{0.44}$

$=\frac{20}{44}$

$=\frac{5}{11}$

综上所述，甲获胜的概率为 $\frac{5}{11}$ ，故本题的答案是 B选项。