题目
4.设X_(1),X_(2),... X_(n)是来自正态总体N(mu,sigma^2)的简单随机样本样本均值，overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)，证明：E(overline(X))=mu，D(overline(X))=(sigma^2)/(n)。
4.设$X_{1},X_{2},\cdots X_{n}$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的简单随机样本样本均值，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，证明：$E(\overline{X})=\mu$，$D(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}$。
题目解答
答案
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，其中 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$。
**期望：**
利用期望线性性质，
\[
E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \mu = \mu.
\]
**方差：**
由方差性质（独立变量和的方差等于方差和），
\[
D(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}.
\]
**答案：**
\[
\boxed{
E(\overline{X}) = \mu, \quad D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}
}
\]