以下命题中正确命题的个数是:( )(1)已知事件ABC两两独立,则A B C相互独立的充要条件是AC与B相互独立; (2)随机变量X与Y独立同分布,则X=Y; (3)随机变量x与Y不相关,则(4)统计量中不含未知参数,其分布也不含未知参数. A 3 B 1 C 4 D 2
以下命题中正确命题的个数是:( )
(1)已知事件ABC两两独立,则A B C相互独立的充要条件是AC与B相互独立;
(2)随机变量X与Y独立同分布,则X=Y;
(3)随机变量x与Y不相关,则
(4)统计量中不含未知参数,其分布也不含未知参数.
A 3
B 1
C 4
D 2
题目解答
答案
解题思路
命题(1)
对于事件 A、B、C 两两独立，A、B、C 相互独立的充要条件是P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。
已知 AC 与 B 相互独立，即P(ACB)=P(AC)P(B),又因为 A、C 两两独立， P(AC)=P(A)P(C),所以P(ABC)=P(A)P(B)P(C),命题 (1)正确。
命题(2)
随机变量 X 与 Y 独立同分布，意味着它们的概率分布相同，但并不意味着X=Y。例如，X 和 Y 都服从标准正态分布，但它们的值不一定相等，命题 (2)错误。
命题(3)
若X与Y不相关，则Cov(X,Y)=0。
Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)
因为Cov(X,Y)=Cov(Y,X)=0,Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY
命题 (3)正确。
命题(4)
统计量是样本的函数，不依赖于未知参数。如果统计量本身不含未知参数，其分布也不会含有未知参数，命题(4)正确。
正确答案
正确的命题有(1)、(3)、(4),共3个。
所以答案是 A。
解析
考查要点：本题综合考查概率论中的事件独立性、随机变量独立同分布、不相关性与协方差、统计量的定义等知识点。
解题核心思路：
- 事件独立性：区分“两两独立”与“相互独立”的条件关系，需验证联合概率是否等于各事件概率乘积。
- 独立同分布：理解独立同分布仅说明分布相同且独立，但取值不一定相等。
- 不相关性与协方差：掌握协方差运算规则，特别是线性组合的协方差展开。
- 统计量的性质：明确统计量是样本的函数，不含未知参数，其分布也必然不含未知参数。
破题关键点：
- 命题（1）：通过概率乘法公式验证充要条件。
- 命题（2）：举反例说明独立同分布不意味着取值相等。
- 命题（3）：利用协方差性质展开表达式。
- 命题（4）：直接根据统计量的定义判断。
命题（1）
关键点：两两独立的事件A、B、C相互独立的充要条件是P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。
若AC与B独立，则P(AC ∩ B)=P(AC)P(B)。
由于A、B、C两两独立，P(AC)=P(A)P(C)，代入得：
$P(ABC)=P(A)P(C)P(B)=P(A)P(B)P(C)$
满足相互独立的条件，故命题（1）正确。
命题（2）
关键点：独立同分布仅说明X和Y分布相同且独立，但取值可以不同。
例如，X和Y均服从标准正态分布，但X≠Y的概率为1。故命题（2）错误。
命题（3）
关键点：X与Y不相关即Cov(X,Y)=0。
计算协方差：
$\begin{aligned}\text{Cov}(X+Y, X-Y) &= \text{Cov}(X,X) - \text{Cov}(X,Y) + \text{Cov}(Y,X) - \text{Cov}(Y,Y) \\&= D(X) - 0 + 0 - D(Y) \\&= D(X) - D(Y)\end{aligned}$
故命题（3）正确。
命题（4）
关键点：统计量是样本的函数，不含未知参数，因此其分布必然不含未知参数。
例如，样本均值$\bar{X}$的分布仅依赖样本容量和总体方差（若已知）。故命题（4）正确。