4、设Xsim P(lambda)，且PX=0=PX=1，则PX=k=( ).A. 1B. λC. kD. (e^-1)/(k!(k=0,1,2,...))

本题考查泊松分布的概率质量函数以及根据已知条件求解参数。解题的关键在于利用泊松分布的概率公式，结合题目所给的$P\{X = 0\} = P\{X = 1\}$这一条件，求出参数$\lambda$的值，进而得到$P\{X = k\}$的表达式。

步骤一：明确泊松分布的概率质量函数

若随机变量$X\sim P(\lambda)$，则其概率质量函数为$P\{X = k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中$k = 0, 1, 2, \cdots$，$\lambda\gt0$。

步骤二：根据已知条件列出等式

已知$P\{X = 0\} = P\{X = 1\}$，将$k = 0$和$k = 1$分别代入泊松分布的概率质量函数中：

• 当$k = 0$时，$P\{X = 0\} = \frac{\lambda^0 e^{-\lambda}}{0!}$，因为$\lambda^0 = 1$，$0! = 1$，所以$P\{X = 0\} = e^{-\lambda}$。
• 当$k = 1$时，$P\{X = 1\} = \frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!}$，因为$1! = 1$，所以$P\{X = 1\} = \lambda e^{-\lambda}$。

则可得等式$e^{-\lambda} = \lambda e^{-\lambda}$。

步骤三：求解参数$\lambda$

由于$e^{-\lambda} \gt 0$，等式$e^{-\lambda} = \lambda e^{-\lambda}$两边同时除以$e^{-\lambda}$，得到$\lambda = 1$。

步骤四：求出$P\{X = k\}$的表达式

将$\lambda = 1$代入泊松分布的概率质量函数$P\{X = k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$中，可得$P\{X = k\} = \frac{1^k e^{-1}}{k!} = \frac{e^{-1}}{k!}$，其中$k = 0, 1, 2, \cdots$。