题目

6、一项关于大学生体重状况的研究发现，男生的平均体重为60kg，标准差为5kg；女生的平均体重为50kg，标准差为5kg。请回答下面的问题：（1）、男生的体重差异大还是女生的体重差异大？为什么？（2）、粗略地估计一下，男生中有百分之几的人体重在55kg~65kg之间？（3）、粗略地估计一下，女生中有百分之几的人体重在40kg~60kg之间？

题目解答

答案

(1) 计算离散系数
男生：$ v_1 = \frac{5}{60} \approx 0.0833 $
女生：$ v_2 = \frac{5}{50} = 0.1 $
答案：女生的体重差异大（$ v_2 > v_1 $）。

(2) 确定范围
55kg~65kg对应平均值±1个标准差。
答案：约68%（经验法则）。

(3) 确定范围
40kg~60kg对应平均值±2个标准差。
答案：约95%（经验法则）。

$\boxed{\begin{array}{l}(1) \text{女生的体重差异大。} \$2) \text{约68%。} \$3) \text{约95%。}\end{array}}$

解析

核心概念：本题主要考查离散系数和经验法则的应用。

离散系数（标准差与平均值的比值）用于比较不同数据集的离散程度，系数越大，相对差异越大。
经验法则指出，对于近似正态分布的数据：
- 平均值±1个标准差范围内的数据占比约68%；
- 平均值±2个标准差范围内的数据占比约95%。

第（1）题

关键思路：通过计算离散系数比较差异大小。

计算离散系数

男生：$v_1 = \frac{\text{标准差}}{\text{平均值}} = \frac{5}{60} \approx 0.0833$
女生：$v_2 = \frac{5}{50} = 0.1$
结论：女生的离散系数更大，说明女生的体重差异更大。

第（2）题

关键思路：判断范围对应的标准差倍数，应用经验法则。

确定范围

55kg~65kg对应男生平均值±1个标准差（$60 \pm 5$）。
结论：约68%的男生体重在此范围内。

第（3）题

关键思路：同理判断范围对应的倍数。

确定范围

40kg~60kg对应女生平均值±2个标准差（$50 \pm 2 \times 5$）。
结论：约95%的女生体重在此范围内。