练习:今有200个产品投入使用，在t=100h前有2个发生故障，在100-105h之间有一个发生故障。试计算这批产品工作满100h时的故障概率密度和故障率。若t=1000h前有51个产品发生故障，而在1000-1005h内有1个发生故障。试计算这批产品工作满1000h时的故障概率密度和故障率。

为了计算这批产品的故障概率密度和故障率，我们需要使用以下定义和公式： 1. 故障概率密度 $ f(t) $：单位时间内发生故障的概率。 2. 故障率 $ \lambda(t) $：在某个时间点，单位时间内发生故障的概率，条件是产品在该时间点前没有发生故障。 ### 第一部分：工作满100小时 #### 步骤1：计算工作满100小时的故障概率密度 $ f(100) $ 故障概率密度 $ f(t) $ 可以近似为在小时间间隔内发生故障的个数除以总产品数和时间间隔。这里，时间间隔是 $ 105 - 100 = 5 $ 小时，发生故障的个数是1。 \[ f(100) \approx \frac{1}{200 \times 5} = \frac{1}{1000} = 0.001 \text{ (个/小时)} \] #### 步骤2：计算工作满100小时的故障率 $ \lambda(100) $ 故障率 $ \lambda(t) $ 可以近似为在小时间间隔内发生故障的个数除以在该时间点前没有发生故障的产品数和时间间隔。在 $ t = 100 $ 小时前，有2个产品发生故障，所以还有 $ 200 - 2 = 198 $ 个产品没有发生故障。 \[ \lambda(100) \approx \frac{1}{198 \times 5} = \frac{1}{990} \approx 0.0010101 \text{ (个/小时)} \] ### 第二部分：工作满1000小时 #### 步骤1：计算工作满1000小时的故障概率密度 $ f(1000) $ 故障概率密度 $ f(t) $ 可以近似为在小时间间隔内发生故障的个数除以总产品数和时间间隔。这里，时间间隔是 $ 1005 - 1000 = 5 $ 小时，发生故障的个数是1。 \[ f(1000) \approx \frac{1}{200 \times 5} = \frac{1}{1000} = 0.001 \text{ (个/小时)} \] #### 步骤2：计算工作满1000小时的故障率 $ \lambda(1000) $ 故障率 $ \lambda(t) $ 可以近似为在小时间间隔内发生故障的个数除以在该时间点前没有发生故障的产品数和时间间隔。在 $ t = 1000 $ 小时前，有51个产品发生故障，所以还有 $ 200 - 51 = 149 $ 个产品没有发生故障。 \[ \lambda(1000) \approx \frac{1}{149 \times 5} = \frac{1}{745} \approx 0.00134228 \text{ (个/小时)} \] ### 最终答案 \[ \boxed{0.001, 0.0010101, 0.001, 0.00134228} \]