设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy平面上的闭区域D，薄板上分布着面密度为mu=mu(x,y)的电荷，且mu(x,y)在D上连续，则该板上的全部电荷Q可表示为()。 A. int_(D)mu(x,y)dsigmaB. lim_(lambdatoinfty)sum_(i=1)^nmu(xi_i,eta_i)Deltasigma_i，其中lambda是各Deltasigma_i中的最大直径C. int_(D)mu'(x,y)dsigmaD. lim_(lambdato0)sum_(i=1)^nnmu(xi_i,eta_i)Deltasigma_i，其中lambda是各Deltasigma_i中的最大直径

考查要点：本题主要考查二重积分的实际应用，特别是利用二重积分计算平面薄板上分布的电荷总量。关键在于理解二重积分的物理意义以及积分定义的极限形式。

解题核心思路：

1. 总电荷的定义：将薄板分割为无数小区域，每个小区域的电荷近似为面密度乘以面积，总电荷是这些小电荷的和的极限。
2. 二重积分的定义：当分割无限加密（最大直径$\lambda \to 0$）时，求和的极限即为二重积分。
3. 选项辨析：需注意积分表达式的形式、极限条件以及是否存在多余因子。

破题关键点：

• 选项A直接对应二重积分的标准形式，正确。
• 选项B的极限条件错误（$\lambda \to \infty$不符合定义）。
• 选项C面密度符号错误（$\mu'$应为$\mu$）。
• 选项D中多余的$n$因子导致表达式错误。

选项分析

选项A

$\displaystyle \int_{D}\mu(x,y)d\sigma$

• 正确性：符合二重积分的定义，总电荷$Q$是面密度$\mu(x,y)$在区域$D$上的积分。
• 结论：正确。

选项B

$\displaystyle \lim_{\lambda\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\mu(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$

• 错误原因：分割的最大直径$\lambda$应趋近于$0$，而非$\infty$。
• 结论：错误。

选项C

$\displaystyle \int_{D}\mu'(x,y)d\sigma$

• 错误原因：面密度函数应为$\mu(x,y)$，而非$\mu'(x,y)$（可能为笔误）。
• 结论：错误。

选项D

$\displaystyle \lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}n\mu(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$

• 错误原因：求和项中多余的$n$因子无实际意义，正确形式应为$\sum \mu(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$。
• 结论：错误。