设 x_1, x_2, ..., x_n 为正态总体 N(mu, sigma^2) 的一组样本观测值，若 mu 未知，则参数 sigma^2 的置信水平为 1-alpha 的置信区间为（ ）.A. ( (sum_(i=1)^n (X_i - mu_0)^2)/(chi_(alpha/2)^2(n)), (sum_(i=1)^n (X_i - mu_0)^2)/(chi_(1-alpha/2)^2(n)) ).B. ( overline(x) pm (sigma)/(sqrt(n)) u_((alpha)/(2)) );C. ( overline(x) pm (s)/(sqrt(n)) t_((alpha)/(2))(n-1) );D. ( ((n-1)s^2)/(chi_(alpha/2)^2(n-1)), ((n-1)s^2)/(chi_(1-alpha/2)^2(n-1)) );
设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的一组样本观测值，若 $\mu$ 未知，则参数 $\sigma^2$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为（ ）.
A. $\left( \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n)}, \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n)} \right)$.
B. $\left( \overline{x} \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}} \right)$;
C. $\left( \overline{x} \pm \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \right)$;
D. $\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)} \right)$;
题目解答
答案
设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，$\mu$ 未知。样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$，其中 $\bar{X}$ 为样本均值。统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即 $\chi^2(n-1)$。
对于置信水平 $1-\alpha$，有：
$P\left( \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) \leq \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \leq \chi^2_{\alpha/2}(n-1) \right) = 1 - \alpha.$
解得 $\sigma^2$ 的置信区间为：
$\left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)} \right).$
选项分析：
- A：使用 $\mu_0$，不符合题意。
- B、C：估计 $\mu$，非 $\sigma^2$。
- D：符合上述推导，正确。
答案： $\boxed{D}$