题目

对任意随机变量X，若E(X),D(X)存在，则D(D(X))=_

对任意随机变量X，若E(X),D(X)存在，则D(D(X))=_

题目解答

答案

答案：D(D(X)) = D(0) = 0

解析：首先，方差的定义是D(X) = E((X - E(X))²)。因为E(X)存在，所以E(X) - E(X) = 0，所以D(X) = E((0)²) = E(0) = 0。接着，再计算D(D(X))，根据方差的定义，D(D(X)) = E((D(X) - E(D(X)))²)。由于D(X) = 0，所以D(D(X)) = E((0 - E(0))²) = E((0 - 0)²) = E(0) = 0。因此，D(D(X)) = 0。

解析

考查要点：本题主要考查对方差性质的理解，特别是常数方差的性质。

解题核心思路：

  1. 明确方差的定义：方差是随机变量与其期望值的平方的期望，即$D(X) = E[(X - E(X))^2]$。

  2. 理解方差的性质：任何常数的方差均为0，即若$C$是常数，则$D(C) = 0$。

  3. 关键点：虽然$D(X)$本身是随机变量$X$的方差，但$D(X)$是一个确定的数值（常数），因此计算$D(D(X))$时，等价于计算常数的方差。

  4. 分析$D(X)$的性质
    根据方差的定义，$D(X) = E[(X - E(X))^2]$。无论$X$是否为常数，$D(X)$始终是一个确定的数值（即常数）。

  5. 计算$D(D(X))$
    由于$D(X)$是常数，根据方差的性质，常数的方差为0，即：
    $D(D(X)) = D(\text{常数}) = 0.$