若 x_t = x_(t-1) + x_(t-12) - x_(t-13) + varepsilon_t - 0.5 varepsilon_(t-1) - 0.5 varepsilon_(t-12) + 0.25 varepsilon_(t-13) 则该模型为一个季节周期为 s = ____ 的乘法季节 ARMA(____, ____, ____) × (____, ____, ____)_s 模型。
若 $x_t = x_{t-1} + x_{t-12} - x_{t-13} + \varepsilon_t - 0.5 \varepsilon_{t-1} - 0.5 \varepsilon_{t-12} + 0.25 \varepsilon_{t-13}$ 则该模型为一个季节周期为 $s = \_\_\_\_$ 的乘法季节 ARMA(\_\_\_\_, \_\_\_\_, \_\_\_\_) × (\_\_\_\_, \_\_\_\_, \_\_\_\_)_s 模型。
题目解答
答案
将给定模型重写为差分形式：
$x_t - x_{t-1} - x_{t-12} + x_{t-13} = \varepsilon_t - 0.5 \varepsilon_{t-1} - 0.5 \varepsilon_{t-12} + 0.25 \varepsilon_{t-13}.$
定义差分算子 $\nabla = 1 - B$ 和季节差分算子 $\nabla_{12} = 1 - B^{12}$，则：
$\nabla \nabla_{12} x_t = (1 - B)(1 - B^{12}) x_t = x_t - x_{t-1} - x_{t-12} + x_{t-13}.$
右边可表示为：
$(1 - 0.5 B)(1 - 0.5 B^{12}) \varepsilon_t = \varepsilon_t - 0.5 \varepsilon_{t-1} - 0.5 \varepsilon_{t-12} + 0.25 \varepsilon_{t-13}.$
因此，模型为：
$\nabla \nabla_{12} x_t = (1 - 0.5 B)(1 - 0.5 B^{12}) \varepsilon_t,$
符合乘法季节 $ARMA(0, 1, 1) \times (0, 1, 1)_{12}$ 模型，其中非季节部分为 $AR(0)$ 和 $MA(1)$，季节部分为 $AR(0)$ 和 $MA(1)$，季节周期为 $s = 12$。
答案：
$\boxed{\begin{array}{cccccc}\text{非季节部分:} & p = 0, & d = 1, & q = 1, \\\text{季节部分:} & P = 0, & D = 1, & Q = 1, \\\text{季节周期:} & s = 12.\end{array}}$
或简写为：$\boxed{ARMA(0, 1, 1) \times (0, 1, 1)_{12}}$。