题目

X sim N(mu, sigma^2), sigma^2已知，假设检验 H_0: mu = mu_0, H_1: mu neq mu_0 的拒绝域为()。A. |U| geq u_((alpha)/(2))B. |U| leq u_((alpha)/(2))C. |T| geq t_((alpha)/(2))(n-1)D. |T| leq t_((alpha)/(2))(n-1)

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$, $\sigma^2$已知，假设检验 $H_0: \mu = \mu_0$, $H_1: \mu \neq \mu_0$ 的拒绝域为()。

A. $|U| \geq u_{\frac{\alpha}{2}}$

B. $|U| \leq u_{\frac{\alpha}{2}}$

C. $|T| \geq t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$

D. $|T| \leq t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$

题目解答

答案

A. $|U| \geq u_{\frac{\alpha}{2}}$

解析

本题考查正态总体均值的假设检验，解题的关键在于根据总体方差是否已知选择合适的检验统计量，并结合双侧检验的特点确定拒绝域。

  1. 确定检验统计量：
    • 已知$X \sim N(\mu, \sigma^2)$且$\sigma^2$已知，对于检验$H_0: \mu = \mu_0$对$H_1: \mu \neq \mu_0$，我们使用$U$检验。
    • 检验统计量为$U = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中$\bar{X}$是样本均值，$n$是样本容量。
    • 根据正态分布的性质，$U$服从标准正态分布$N(0, 1)$，即$U = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。
  2. 分析双侧检验的拒绝域：
    • 本题是双侧检验，原假设$H_0: \mu = \mu_0$，备择假设$H_1: \mu \neq \mu_0$。
    • 我们要在给定的显著性水平$\alpha$下确定拒绝域。在标准正态分布中，双侧检验的拒绝域位于分布的两侧尾部。
    • 上$\frac{\alpha}{2}$分位数$u_{\frac{\alpha}{2}}$满足$P\{U \geq u_{\frac{\alpha}{2}}\} = \frac{\alpha}{2}$，由于分布的对称性，$P\{U \leq -u_{\frac{\alpha}{2}}\} = \frac{\alpha}{2}$。
    • 那么$P\{|U| \geq u_{\frac{\alpha}{2}}\} = P\{U \geq u_{\frac{\alpha}{2}}\} + P\{U \leq -u_{\frac{\alpha}{2}}\} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$。
    • 所以，当$|U| \geq u_{\frac{\alpha}{2}}$时，我们拒绝原假设$H_0$，即拒绝域为$|U| \geq u_{\frac{\alpha}{2}}$。
  3. 排除其他选项：
    • 选项C和D涉及$t$分布，$t$分布是在总体方差$\sigma^2$未知的情况下使用的检验统计量，本题中$\sigma^2$已知，所以C和D不适用。
    • 选项B中$|U| \leq u_{\frac{\alpha}{2}}$表示的是接受域，而不是拒绝域，所以B也不正确。