5. (5.0分) 设齐次线性方程组 } kx+z=0 2x+ky+z=0 kx-2y+z=0 有非零解，则k的值为（）A. 2B. 0C. -1D. -2

本题考查齐次线性方程组有非零解的条件，解题思路是根据齐次线性方程组有非零解的条件得到系数矩阵的行列式为零，进而求解$k$的值。

1. 首先明确齐次线性方程组$\begin{cases}a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = 0 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = 0 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = 0 \end{cases}$有非零解的条件是其系数矩阵$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$的行列式$\vert A\vert = 0$。
2. 对于本题中的齐次线性方程组$\begin{cases} kx+z=0 \\ 2x+ky+z=0 \\ kx-2y+z=0 \end{cases}$，其系数矩阵$A=\begin{pmatrix}k & 0 & 1 \\ 2 & k & 1 \\ k & -2 & 1 \end{pmatrix}$。
3. 计算行列式$\vert A\vert$：
   • 根据三阶行列式的计算公式$\vert\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\vert=a_{11}\times\vert\begin{pmatrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\vert - a_{12}\times\vert\begin{pmatrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix}\vert + a_{13}\times\vert\begin{pmatrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}\vert$。
   • 则$\vert A\vert=k\times\begin{vmatrix}k & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}-0\times\begin{vmatrix}2 & 1 \\ k & 1 \end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}2 & k \\ k & -2 \end{vmatrix}$。
   • 计算二阶行列式$\begin{vmatrix}k & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}=k\times1 - (-2)\times1 = k + 2$，$\begin{vmatrix}2 & k \\ k & -2 \end{vmatrix}=2\times(-2) - k\times k = -4 - k^{2}$。
   • 所以$\vert A\vert=k\times(k + 2)+1\times(-4 - k^{2})$。
   • 展开式子得$\vert A\vert=k^{2}+2k - 4 - k^{2}=2k - 4$。
4. 因为齐次线性方程组有非零解时$\vert A\vert = 0$，即$2k - 4 = 0$。
5. 解方程$2k - 4 = 0$：
   • 移项得$2k = 4$。
   • 两边同时除以$2$，解得$k = 2$。