题目
例 某工厂生产一种特殊的发动机套筒，假设套筒直径X(mm)服从正态分布N(μ,0.1²)，现从某天的产品中随机抽取40件，测得直径的样本均值为5.426(mm)，求μ的置信度为0.95的置信区间。
例 某工厂生产一种特殊的发动机套筒，假设套筒直径X(mm)服从正态分布N(μ,0.1²)，现从某天的产品中随机抽取40件，测得直径的样本均值为5.426(mm)，求μ的置信度为0.95的置信区间。
题目解答
答案
为了求出总体均值 $\mu$ 的置信度为0.95的置信区间，我们可以使用以下步骤：
1. **确定已知条件：**
- 样本均值 $\bar{X} = 5.426$ mm
- 总体标准差 $\sigma = 0.1$ mm
- 样本容量 $n = 40$
- 置信度 $1 - \alpha = 0.95$
2. **找到标准正态分布的临界值 $Z_{\alpha/2}$:**
- 由于置信度为0.95，所以 $\alpha = 0.05$
- $\alpha/2 = 0.025$
- 查标准正态分布表，找到 $Z_{0.025} = 1.96$
3. **计算置信区间的半径:**
\[
\text{半径} = Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{0.1}{\sqrt{40}} = 1.96 \cdot \frac{0.1}{6.3246} \approx 0.031
\]
4. **计算置信区间:**
\[
\text{置信区间} = \left( \bar{X} - \text{半径}, \bar{X} + \text{半径} \right) = \left( 5.426 - 0.031, 5.426 + 0.031 \right) = (5.395, 5.457)
\]
因此，$\mu$ 的置信度为0.95的置信区间是 $\boxed{(5.395, 5.457)}$。
解析
步骤 1：确定已知条件
- 样本均值 $\bar{X} = 5.426$ mm
- 总体标准差 $\sigma = 0.1$ mm
- 样本容量 $n = 40$
- 置信度 $1 - \alpha = 0.95$
步骤 2：找到标准正态分布的临界值 $Z_{\alpha/2}$
- 由于置信度为0.95，所以 $\alpha = 0.05$
- $\alpha/2 = 0.025$
- 查标准正态分布表，找到 $Z_{0.025} = 1.96$
步骤 3：计算置信区间的半径
\[ \text{半径} = Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{0.1}{\sqrt{40}} = 1.96 \cdot \frac{0.1}{6.3246} \approx 0.031 \]
步骤 4：计算置信区间
\[ \text{置信区间} = \left( \bar{X} - \text{半径}, \bar{X} + \text{半径} \right) = \left( 5.426 - 0.031, 5.426 + 0.031 \right) = (5.395, 5.457) \]
- 样本均值 $\bar{X} = 5.426$ mm
- 总体标准差 $\sigma = 0.1$ mm
- 样本容量 $n = 40$
- 置信度 $1 - \alpha = 0.95$
步骤 2：找到标准正态分布的临界值 $Z_{\alpha/2}$
- 由于置信度为0.95，所以 $\alpha = 0.05$
- $\alpha/2 = 0.025$
- 查标准正态分布表，找到 $Z_{0.025} = 1.96$
步骤 3：计算置信区间的半径
\[ \text{半径} = Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{0.1}{\sqrt{40}} = 1.96 \cdot \frac{0.1}{6.3246} \approx 0.031 \]
步骤 4：计算置信区间
\[ \text{置信区间} = \left( \bar{X} - \text{半径}, \bar{X} + \text{半径} \right) = \left( 5.426 - 0.031, 5.426 + 0.031 \right) = (5.395, 5.457) \]