单选题(共26题,80.0分)-|||-4.(3.0分)设随机变量X的概率密度函数为-|||-f(x)= { x+1, 0leqslant xlt 2 0,

考查要点：本题主要考查概率密度函数的积分应用，即通过积分计算随机变量在特定区间内的概率。

解题核心思路：
概率密度函数$f(x)$在区间$(a, b)$上的积分$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$表示随机变量$X$落在区间$(a, b)$内的概率。因此，本题需直接计算$\int_{1}^{2} f(x) \, dx$，其中$f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 1$在区间$[0, 2)$内有效。

破题关键点：

1. 正确写出积分表达式：明确积分上下限为$1$和$2$。
2. 准确计算定积分：注意被积函数的表达式和积分结果的符号。

步骤1：写出概率表达式
根据概率密度函数的定义，所求概率为：
$P\{1 < X < 2\} = \int_{1}^{2} \left( -\dfrac{1}{2}x + 1 \right) dx$

步骤2：计算定积分

1. 求原函数：
   $\int \left( -\dfrac{1}{2}x + 1 \right) dx = -\dfrac{1}{4}x^2 + x + C$
2. 代入上下限：
   $\left[ -\dfrac{1}{4}x^2 + x \right]_{1}^{2} = \left( -\dfrac{1}{4}(2)^2 + 2 \right) - \left( -\dfrac{1}{4}(1)^2 + 1 \right)$
3. 化简计算：
   • 上限$x=2$时：$-\dfrac{1}{4}(4) + 2 = -1 + 2 = 1$
   • 下限$x=1$时：$-\dfrac{1}{4}(1) + 1 = -\dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{3}{4}$
   • 差值：$1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$

结论：
$P\{1 < X < 2\} = \dfrac{1}{4}$