题目
设X1,X2为来自总体X1,X2的简单随机样本,X1,X2,则X1,X2的相关系数X1,X2 = _____
设
为来自总体
的简单随机样本,
,则
的相关系数
= _____
题目解答
答案
- 第一步：计算协方差。根据协方差的定义，有：
第二步：计算二者的方差。根据方差的性质，有：
第三步：根据相关系数的公式，计算ρ，即：
解析
步骤 1：计算协方差
根据协方差的定义，有：
$Cov({X}_{1}-\overline {X},{X}_{2}-\overline {X})=E[({X}_{1}-\overline {X})({X}_{2}-\overline {X})]-E({X}_{1}-\overline {X})E({X}_{2}-\overline {X})$
由于$E({X}_{1}-\overline {X})=E({X}_{2}-\overline {X})=0$，因此：
$Cov({X}_{1}-\overline {X},{X}_{2}-\overline {X})=E[({X}_{1}-\overline {X})({X}_{2}-\overline {X})]$
$=E\left[\left({X}_{1}-\frac{{X}_{1}+{X}_{2}}{2}\right)\left({X}_{2}-\frac{{X}_{1}+{X}_{2}}{2}\right)\right]$
$=E\left[\left(\frac{{X}_{1}-{X}_{2}}{2}\right)\left(\frac{{X}_{2}-{X}_{1}}{2}\right)\right]$
$=E\left[-\frac{({X}_{1}-{X}_{2})^{2}}{4}\right]$
$=-\frac{1}{4}E\left[({X}_{1}-{X}_{2})^{2}\right]$
$=-\frac{1}{4}E\left[{X}_{1}^{2}-2{X}_{1}{X}_{2}+{X}_{2}^{2}\right]$
$=-\frac{1}{4}\left[E({X}_{1}^{2})-2E({X}_{1}{X}_{2})+E({X}_{2}^{2})\right]$
$=-\frac{1}{4}\left[Var({X}_{1})+E^{2}({X}_{1})-2E({X}_{1})E({X}_{2})+Var({X}_{2})+E^{2}({X}_{2})\right]$
$=-\frac{1}{4}\left[{\sigma }^{2}+{\mu }^{2}-2{\mu }^{2}+{\sigma }^{2}+{\mu }^{2}\right]$
$=-\frac{1}{4}\left[2{\sigma }^{2}\right]$
$=-\frac{1}{2}{\sigma }^{2}$
步骤 2：计算二者的方差
根据方差的性质，有：
$Var({X}_{1}-\overline {X})=Var\left(\frac{{X}_{1}-{X}_{2}}{2}\right)=\frac{1}{4}Var({X}_{1}-{X}_{2})$
$=\frac{1}{4}\left[Var({X}_{1})+Var({X}_{2})-2Cov({X}_{1},{X}_{2})\right]$
$=\frac{1}{4}\left[{\sigma }^{2}+{\sigma }^{2}-2\cdot 0\right]$
$=\frac{1}{4}\left[2{\sigma }^{2}\right]$
$=\frac{1}{2}{\sigma }^{2}$
同理，$Var({X}_{2}-\overline {X})=\frac{1}{2}{\sigma }^{2}$
步骤 3：根据相关系数的公式，计算ρ
根据相关系数的定义，有：
$\rho =\frac{Cov({X}_{1}-\overline {X},{X}_{2}-\overline {X})}{\sqrt{Var({X}_{1}-\overline {X})Var({X}_{2}-\overline {X})}}$
$=\frac{-\frac{1}{2}{\sigma }^{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}{\sigma }^{2}\cdot \frac{1}{2}{\sigma }^{2}}}$
$=\frac{-\frac{1}{2}{\sigma }^{2}}{\frac{1}{2}{\sigma }^{2}}$
$=-1$
根据协方差的定义，有：
$Cov({X}_{1}-\overline {X},{X}_{2}-\overline {X})=E[({X}_{1}-\overline {X})({X}_{2}-\overline {X})]-E({X}_{1}-\overline {X})E({X}_{2}-\overline {X})$
由于$E({X}_{1}-\overline {X})=E({X}_{2}-\overline {X})=0$，因此：
$Cov({X}_{1}-\overline {X},{X}_{2}-\overline {X})=E[({X}_{1}-\overline {X})({X}_{2}-\overline {X})]$
$=E\left[\left({X}_{1}-\frac{{X}_{1}+{X}_{2}}{2}\right)\left({X}_{2}-\frac{{X}_{1}+{X}_{2}}{2}\right)\right]$
$=E\left[\left(\frac{{X}_{1}-{X}_{2}}{2}\right)\left(\frac{{X}_{2}-{X}_{1}}{2}\right)\right]$
$=E\left[-\frac{({X}_{1}-{X}_{2})^{2}}{4}\right]$
$=-\frac{1}{4}E\left[({X}_{1}-{X}_{2})^{2}\right]$
$=-\frac{1}{4}E\left[{X}_{1}^{2}-2{X}_{1}{X}_{2}+{X}_{2}^{2}\right]$
$=-\frac{1}{4}\left[E({X}_{1}^{2})-2E({X}_{1}{X}_{2})+E({X}_{2}^{2})\right]$
$=-\frac{1}{4}\left[Var({X}_{1})+E^{2}({X}_{1})-2E({X}_{1})E({X}_{2})+Var({X}_{2})+E^{2}({X}_{2})\right]$
$=-\frac{1}{4}\left[{\sigma }^{2}+{\mu }^{2}-2{\mu }^{2}+{\sigma }^{2}+{\mu }^{2}\right]$
$=-\frac{1}{4}\left[2{\sigma }^{2}\right]$
$=-\frac{1}{2}{\sigma }^{2}$
步骤 2：计算二者的方差
根据方差的性质，有：
$Var({X}_{1}-\overline {X})=Var\left(\frac{{X}_{1}-{X}_{2}}{2}\right)=\frac{1}{4}Var({X}_{1}-{X}_{2})$
$=\frac{1}{4}\left[Var({X}_{1})+Var({X}_{2})-2Cov({X}_{1},{X}_{2})\right]$
$=\frac{1}{4}\left[{\sigma }^{2}+{\sigma }^{2}-2\cdot 0\right]$
$=\frac{1}{4}\left[2{\sigma }^{2}\right]$
$=\frac{1}{2}{\sigma }^{2}$
同理，$Var({X}_{2}-\overline {X})=\frac{1}{2}{\sigma }^{2}$
步骤 3：根据相关系数的公式，计算ρ
根据相关系数的定义，有：
$\rho =\frac{Cov({X}_{1}-\overline {X},{X}_{2}-\overline {X})}{\sqrt{Var({X}_{1}-\overline {X})Var({X}_{2}-\overline {X})}}$
$=\frac{-\frac{1}{2}{\sigma }^{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}{\sigma }^{2}\cdot \frac{1}{2}{\sigma }^{2}}}$
$=\frac{-\frac{1}{2}{\sigma }^{2}}{\frac{1}{2}{\sigma }^{2}}$
$=-1$