题目

设 X sim beta(1, p), X_1, X_2, ..., X_n 是来自 X 的样本，那么下列选项中不正确的是______A. 当 n 充分大时，近似有 overline(X) sim N(p, (p(1-p))/(n))B. Poverline{X) = k} = C_n^k p^k (1-p)^n-k, k = 0, 1, 2, ..., nC. Poverline{X) = (k)/(n)} = C_n^k p^k (1-p)^n-k, k = 0, 1, 2, ..., nD. PX_i = k = C_n^k p^k (1-p)^n-k, 1 leq i leq n

设 $X \sim \beta(1, p)$, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自 $X$ 的样本，那么下列选项中不正确的是______

A. 当 $n$ 充分大时，近似有 $\overline{X} \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$

B. $P\{\overline{X} = k\} = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$, $k = 0, 1, 2, \cdots, n$

C. $P\{\overline{X} = \frac{k}{n}\} = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$, $k = 0, 1, 2, \cdots, n$

D. $P\{X_i = k\} = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$, $1 \leq i \leq n$

题目解答

B. $P\{\overline{X} = k\} = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$, $k = 0, 1, 2, \cdots, n$

考查要点：本题主要考查对样本均值分布的理解，特别是当总体服从特定分布时，样本均值的性质。需要结合中心极限定理和二项分布的相关知识进行判断。

解题核心思路：

明确总体分布类型：题目中总体$X \sim \beta(1, p)$可能存在表述问题。若实际为伯努利分布（Bernoulli(p)），则样本均值$\overline{X}$的取值为$\frac{k}{n}$（$k=0,1,\dots,n$），其概率由二项分布决定。
区分离散与连续变量：若总体为连续型分布（如贝塔分布），则样本均值$\overline{X}$也是连续型变量，$P(\overline{X}=k)=0$；若总体为离散型分布（如伯努利分布），则样本均值$\overline{X}$的取值为离散的$\frac{k}{n}$，对应概率需通过二项分布计算。
选项辨析：重点分析选项中概率表达式的合理性，判断其是否符合样本均值的分布特性。

破题关键点：

选项分析

选项A

根据中心极限定理，当样本量$n$充分大时，样本均值$\overline{X}$近似服从正态分布，均值为$p$，方差为$\frac{p(1-p)}{n}$。因此选项A正确。

选项B

若总体为伯努利分布，$\overline{X}$的取值为$\frac{k}{n}$（$k=0,1,\dots,n$），而非整数$k$。因此$P\{\overline{X}=k\}=0$，选项B错误。

选项C

$\overline{X}=\frac{k}{n}$对应$n$次独立试验中成功$k$次的概率，符合二项分布公式$C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$，因此选项C正确。

选项D

单个样本$X_i$服从伯努利分布，其概率应为$p^k (1-p)^{1-k}$（$k=0,1$）。选项D错误地使用了二项分布的概率表达式，因此选项D错误。

最终结论：选项B和D均错误，但题目要求选择唯一不正确的选项，根据题意优先选择更明显的错误（选项B将样本均值视为整数）。