题目
20.设总体X的概率密度函数为-|||-.f(x)= ) (alpha +1)(x)^alpha , 0lt xlt 1 0, .-|||-(agt -1) 为未知参数,X1,X2,···,Xn是来自总体X的样本,求α的最大似然估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出似然函数
似然函数是概率密度函数在给定样本值时的乘积，即
$L(\alpha) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = (\alpha + 1)^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{\alpha}$
步骤 2：对似然函数取对数
对似然函数取对数可以简化计算，得到对数似然函数
$\ln L(\alpha) = n \ln(\alpha + 1) + \alpha \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$
步骤 3：求导数并令其等于零
对对数似然函数关于参数α求导，并令导数等于零，得到
$\frac{d \ln L(\alpha)}{d \alpha} = \frac{n}{\alpha + 1} + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$
步骤 4：求解α
解上述方程，得到α的最大似然估计量
$\alpha = -1 - \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i}$
似然函数是概率密度函数在给定样本值时的乘积，即
$L(\alpha) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = (\alpha + 1)^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{\alpha}$
步骤 2：对似然函数取对数
对似然函数取对数可以简化计算，得到对数似然函数
$\ln L(\alpha) = n \ln(\alpha + 1) + \alpha \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$
步骤 3：求导数并令其等于零
对对数似然函数关于参数α求导，并令导数等于零，得到
$\frac{d \ln L(\alpha)}{d \alpha} = \frac{n}{\alpha + 1} + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$
步骤 4：求解α
解上述方程，得到α的最大似然估计量
$\alpha = -1 - \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i}$