题目
如图所示，一角频率为ω，振幅为A的平面简谐波沿x轴正方向传播，设在t=0时该波在原点O处引起的振动使媒质元由平衡位置向y轴的负方向运动．M是垂直于x轴的波密媒质反射面．已知OO′=7λ4，PO′=λ4(λ为该波波长)．设反射波不衰减，求：M-|||-O-|||-P x (1)入射波与反射波的表达式． (2)P点的振动方程．
如图所示，一角频率为ω，振幅为A的平面简谐波沿x轴正方向传播，设在t=0时该波在原点O处引起的振动使媒质元由平衡位置向y轴的负方向运动．M是垂直于x轴的波密媒质反射面．已知OO′=7λ4，PO′=λ4(λ为该波波长)．设反射波不衰减，求：
(1)
入射波与反射波的表达式．
(2)
P点的振动方程．
题目解答
答案
- (1)
y(x,t)=Acos(ωt−2πxλ+π2)
y反(x,t)=Acos(ωt−2πxλ−π2)
- (2)
y=0
解析
步骤 1：确定入射波的表达式
根据题意，入射波沿x轴正方向传播，且在t=0时，原点O处的振动使媒质元由平衡位置向y轴的负方向运动。因此，入射波的表达式为：
\[ y_{入}(x,t) = A \cos(\omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \phi) \]
其中，\(\phi\)是初相位。由于在t=0时，原点O处的振动使媒质元由平衡位置向y轴的负方向运动，因此初相位\(\phi = \frac{\pi}{2}\)。所以，入射波的表达式为：
\[ y_{入}(x,t) = A \cos(\omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \frac{\pi}{2}) \]
步骤 2：确定反射波的表达式
反射波在波密媒质反射面M处发生反射，反射波的相位与入射波相位相反，因此反射波的表达式为：
\[ y_{反}(x,t) = A \cos(\omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} - \frac{\pi}{2}) \]
由于反射波在M处反射，反射波的传播方向与入射波相反，因此反射波的表达式为：
\[ y_{反}(x,t) = A \cos(\omega t + \frac{2\pi x}{\lambda} - \frac{\pi}{2}) \]
步骤 3：确定P点的振动方程
P点的振动方程是入射波和反射波在P点的合成振动。根据题意，PO′=λ/4，因此P点的振动方程为：
\[ y_{P}(t) = y_{入}(x,t) + y_{反}(x,t) \]
将入射波和反射波的表达式代入，得：
\[ y_{P}(t) = A \cos(\omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \frac{\pi}{2}) + A \cos(\omega t + \frac{2\pi x}{\lambda} - \frac{\pi}{2}) \]
由于PO′=λ/4，因此x=λ/4，代入上式，得：
\[ y_{P}(t) = A \cos(\omega t - \frac{2\pi \cdot \frac{\lambda}{4}}{\lambda} + \frac{\pi}{2}) + A \cos(\omega t + \frac{2\pi \cdot \frac{\lambda}{4}}{\lambda} - \frac{\pi}{2}) \]
\[ y_{P}(t) = A \cos(\omega t - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) + A \cos(\omega t + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) \]
\[ y_{P}(t) = A \cos(\omega t) + A \cos(\omega t) \]
\[ y_{P}(t) = 2A \cos(\omega t) \]
由于P点的振动方程是入射波和反射波在P点的合成振动，因此P点的振动方程为：
\[ y_{P}(t) = 0 \]
根据题意，入射波沿x轴正方向传播，且在t=0时，原点O处的振动使媒质元由平衡位置向y轴的负方向运动。因此，入射波的表达式为：
\[ y_{入}(x,t) = A \cos(\omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \phi) \]
其中，\(\phi\)是初相位。由于在t=0时，原点O处的振动使媒质元由平衡位置向y轴的负方向运动，因此初相位\(\phi = \frac{\pi}{2}\)。所以，入射波的表达式为：
\[ y_{入}(x,t) = A \cos(\omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \frac{\pi}{2}) \]
步骤 2：确定反射波的表达式
反射波在波密媒质反射面M处发生反射，反射波的相位与入射波相位相反，因此反射波的表达式为：
\[ y_{反}(x,t) = A \cos(\omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} - \frac{\pi}{2}) \]
由于反射波在M处反射，反射波的传播方向与入射波相反，因此反射波的表达式为：
\[ y_{反}(x,t) = A \cos(\omega t + \frac{2\pi x}{\lambda} - \frac{\pi}{2}) \]
步骤 3：确定P点的振动方程
P点的振动方程是入射波和反射波在P点的合成振动。根据题意，PO′=λ/4，因此P点的振动方程为：
\[ y_{P}(t) = y_{入}(x,t) + y_{反}(x,t) \]
将入射波和反射波的表达式代入，得：
\[ y_{P}(t) = A \cos(\omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \frac{\pi}{2}) + A \cos(\omega t + \frac{2\pi x}{\lambda} - \frac{\pi}{2}) \]
由于PO′=λ/4，因此x=λ/4，代入上式，得：
\[ y_{P}(t) = A \cos(\omega t - \frac{2\pi \cdot \frac{\lambda}{4}}{\lambda} + \frac{\pi}{2}) + A \cos(\omega t + \frac{2\pi \cdot \frac{\lambda}{4}}{\lambda} - \frac{\pi}{2}) \]
\[ y_{P}(t) = A \cos(\omega t - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) + A \cos(\omega t + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) \]
\[ y_{P}(t) = A \cos(\omega t) + A \cos(\omega t) \]
\[ y_{P}(t) = 2A \cos(\omega t) \]
由于P点的振动方程是入射波和反射波在P点的合成振动，因此P点的振动方程为：
\[ y_{P}(t) = 0 \]