题目
1.设总体 approx N(mu ,(sigma )^2), X1,X2,···,Xn是来自总体X的一个样本,X,S^2分别为样-|||-本均值与样本方差,则 x~ __ dfrac (X-mu )(S)sqrt (n)approx __ dfrac (1)({sigma )^2}sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2-|||-__ dfrac (1)({sigma )^2}sum _(i=1)^n(({X)_(i)-mu )}^2approx __
题目解答
答案
解析
步骤 1：样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 是由 $n$ 个独立同分布的正态随机变量 $X_i$ 的平均值构成的。根据正态分布的性质，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，其均值为总体均值 $\mu$，方差为总体方差 ${\sigma}^{2}$ 除以样本量 $n$。因此，$\overline{X} \sim N(\mu, {\sigma}^{2}/n)$。
步骤 2：标准化样本均值的分布
标准化样本均值 $\dfrac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ 的分布。由于 $S$ 是样本标准差，$\dfrac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ 的分布是自由度为 $n-1$ 的 t 分布。因此，$\dfrac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$。
步骤 3：样本方差的分布
样本方差 $S^2$ 的分布。根据卡方分布的性质，$\dfrac{1}{{\sigma}^{2}}\sum_{i=1}^{n}({X}_{i} - \overline{X})^{2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。因此，$\dfrac{1}{{\sigma}^{2}}\sum_{i=1}^{n}({X}_{i} - \overline{X})^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$。
步骤 4：总体方差的分布
总体方差 ${\sigma}^{2}$ 的分布。根据卡方分布的性质，$\dfrac{1}{{\sigma}^{2}}\sum_{i=1}^{n}({X}_{i} - \mu)^{2}$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布。因此，$\dfrac{1}{{\sigma}^{2}}\sum_{i=1}^{n}({X}_{i} - \mu)^{2} \sim \chi^{2}(n)$。
样本均值 $\overline{X}$ 是由 $n$ 个独立同分布的正态随机变量 $X_i$ 的平均值构成的。根据正态分布的性质，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，其均值为总体均值 $\mu$，方差为总体方差 ${\sigma}^{2}$ 除以样本量 $n$。因此，$\overline{X} \sim N(\mu, {\sigma}^{2}/n)$。
步骤 2：标准化样本均值的分布
标准化样本均值 $\dfrac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ 的分布。由于 $S$ 是样本标准差，$\dfrac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ 的分布是自由度为 $n-1$ 的 t 分布。因此，$\dfrac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$。
步骤 3：样本方差的分布
样本方差 $S^2$ 的分布。根据卡方分布的性质，$\dfrac{1}{{\sigma}^{2}}\sum_{i=1}^{n}({X}_{i} - \overline{X})^{2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。因此，$\dfrac{1}{{\sigma}^{2}}\sum_{i=1}^{n}({X}_{i} - \overline{X})^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$。
步骤 4：总体方差的分布
总体方差 ${\sigma}^{2}$ 的分布。根据卡方分布的性质，$\dfrac{1}{{\sigma}^{2}}\sum_{i=1}^{n}({X}_{i} - \mu)^{2}$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布。因此，$\dfrac{1}{{\sigma}^{2}}\sum_{i=1}^{n}({X}_{i} - \mu)^{2} \sim \chi^{2}(n)$。