题目

36.求四阶行列式中含有因子a_(11)a_(23)a_(34)的项.

36.求四阶行列式中含有因子$a_{11}a_{23}a_{34}$的项.

题目解答

答案

四阶行列式的一般项为 $\text{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} a_{3\sigma(3)} a_{4\sigma(4)}$，其中 $\sigma$ 是 $\{1, 2, 3, 4\}$ 的排列。 对于包含 $a_{11}a_{23}a_{34}$ 的项，$\sigma$ 必须满足 $\sigma(1) = 1$，$\sigma(2) = 3$，$\sigma(3) = 4$，从而 $\sigma(4) = 2$。 排列 $\sigma = (1, 3, 4, 2)$ 的逆序数为 $2$（即 $(3, 2)$ 和 $(4, 2)$），为偶排列，符号为 $+1$。 因此，对应项为 $a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$。 答案：$\boxed{a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}}$

解析

考查要点：本题主要考查行列式展开式中项的构成规律，涉及排列、逆序数及符号的判断。

解题核心思路：

  1. 排列唯一性：根据行列式项的定义，每个项对应一个排列，且不同行不同列的元素组合唯一确定一个排列。
  2. 确定剩余元素位置：已知部分元素的位置，通过排除法确定剩余元素的位置。
  3. 计算逆序数：根据排列的逆序数确定项的符号。

破题关键点：

  • 排列的列标确定：已知前三行的列标分别为1、3、4，第四行只能选择剩下的列标2。
  • 逆序数计算：排列σ=(1,3,4,2)的逆序数为2，符号为正。

四阶行列式的展开式中，每一项的形式为 $\text{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} a_{3\sigma(3)} a_{4\sigma(4)}$，其中 $\sigma$ 是列标排列。

  1. 确定排列σ：

    • 第一行选取列1，即 $\sigma(1)=1$；
    • 第二行选取列3，即 $\sigma(2)=3$；
    • 第三行选取列4，即 $\sigma(3)=4$；
    • 第四行只能选取剩余列2，即 $\sigma(4)=2$；
    • 因此排列为 $\sigma=(1,3,4,2)$。

  2. 计算逆序数：

    • 排列σ的逆序对为 $(3,2)$ 和 $(4,2)$，共2个逆序；
    • 逆序数为偶数，符号 $\text{sgn}(\sigma)=+1$。

  3. 构造项：

    • 对应项为 $a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$，符号为正。