P M-|||--|||-A-|||-B如图所示，一个可视为质点、质量m=1kg的木块从P点以某初速度在水平面上向右运动，木块运动到M点后水平抛出，恰好沿A点的切线方向进入粗糙圆弧轨道AB，做匀速圆周运动至B点。已知木块与水平面间的动摩擦因数mu =0.25，圆弧轨道的半径R=0.5m，半径OA与竖直半径OB间的夹角theta =53^circ，木块到达B点时的速度大小v_(B)=5m/s，木块从P点运动到B点的位移方向与水平方向的夹角的正切值tanα=(5)/(24)。取sin 53^circ=0.8，cos 53^circ=0.6，重力加速度大小g=10m/s^2，不计空气阻力。求：(1)木块在B点时圆弧轨道对其的支持力大小F_(N)；(2)M、A两点间的水平距离x；(3)木块从P点运动到B点的时间t。（结果保留两位有效数字）

（1）由题可知，木块到达$B$点时的速度大小$v_{B}=5m/s$，

则可知木块此时的向心力为：${F}_{向}=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$

再根据木块的重力和圆弧轨道对其的支持力的合力提供其向心力，

则有：$F_{N}-mg=F_{向}$

则可求圆弧轨道对其的支持力大小：${F}_{N}=mg+m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$

代入数据有：${F}_{N}=1\color{red}{×}10N+1\color{red}{×}\frac{5^{2}}{0.5}N=60N$

即圆弧轨道对其的支持力大小为$60N$；

$(2)$由题意知，木块做匀速圆周运动，故其在$A$点的速度大小为：$v_{A}=v_{B}=5m/s$

又木块从$M$点到$A$点做平抛运动，设该过程中木块运动的时间为${t'}$，木块在$A$点的速度方向与圆弧相切，有竖直方向的分速度大小为：$v_{y}=v_{A}\sin \theta =5m/s\times 0.8=4m/s$

水平方向的分速度大小为：$v_{x}=v_{A}\cos \theta =5m/s\times 0.6=3m/s$

又根据平抛运动的规律可得：

竖直方向：$v_{y}=gt'$

则：$t\color{red}{′}=\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{4}{10}s=0.4s$

水平方向：$x=v_{x}{t'}$

则：$x=v_{x}{t'}=3\times 0.4m=1.2m$

即$M$、$A$两点间的水平距离为$1.2m$；

$(3)$木块从$P$点运动到$B$点过程中竖直方向的位移大小：

${s}_{y}=\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}+R(1-cosθ)=\frac{4^{2}}{2\color{red}{×}10}m+0.5\color{red}{×}(1-0.6)m=1m$

设$P$、$M$两点间的距离为$L$，木块从$P$点运动到$B$点过程中水平方向的位移大小：

$s_{x}=L+x+R\sin \theta $

又因为木块从$P$点运动到$B$点的位移方向与水平方向的夹角的正切值：$tanα=\frac{s_{y}}{s_{x}}=\frac{5}{24}$

代入数据有：$\frac{1m}{(L+1.2+0.5\color{red}{×}0.8)m}=\frac{5}{24}$

解得：$L=3.2m$

木块在水平面上滑动，水平方向上受到滑动摩擦力的作用，

根据牛顿第二定律可知：$\mu mg=ma$

即：$a=\mu g$

即木块在水平面上做加速度大小为$\mu g$的匀减速直线运动

设木块从$P$点运动至$M$点的时间为$t_{1}$，由逆向思维（将木块在水平面上的匀减速直线运动过程逆向思考为由初速度为$v_{x}$开始，以$\mu g$的加速度的匀加速直线运动）有：$L={v}_{x}{t}_{1}+\frac{1}{2}μg{t}_{1}^{2}$

代入数据有：$3.2m=(3\color{red}{×}{t}_{1})m+\frac{1}{2}\color{red}{×}0.25\color{red}{×}10\color{red}{×}({t}_{1})^{2}m$

解得：$t_{1}=0.8s$

木块做平抛运动的时间为：$t_{2}={t'}=0.4s$

木块做匀速圆周运动的时间为：${t}_{3}=\frac{\theta }{\omega }=\frac{\theta }{\frac{{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {A}}}{\boldsymbol {R}}}=\frac{\theta R}{{v}_{A}}$

又因为：$θ=\frac{53}{180}π$

代入数据有：${t}_{3}=\frac{\frac{53}{180}π\color{red}{×}0.5}{5}s\color{red}{≈}0.1s$

则整个过程的时间为：$t=t_{1}+t_{2}+t_{3}=0.8s+0.4s+0.1s=1.3s$

答：（1）圆弧轨道对其的支持力大小为$60N$；

$(2)M$、$A$两点间的水平距离为$1.2m$；

$(3)$木块从$P$点运动到$B$点的时间为$1.3s$。