题目
1.23 总长度为L的软链放在水平光滑的桌面上,此时长为l的一部分链条从桌上下-|||-垂,起始时链条是静止的,求当链条的末端滑到桌子边缘时链的速度v和所需的时间.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定系统能量守恒
在链条滑动过程中，由于桌面光滑，没有摩擦力做功，因此系统的机械能守恒。初始时，链条静止，只有重力势能。当链条末端滑到桌子边缘时，链条具有动能和重力势能。
步骤 2：计算初始和最终状态的重力势能
初始时，链条的重力势能为 $E_{p1} = mgl$，其中 $m$ 是链条的质量，$g$ 是重力加速度，$l$ 是下垂部分的长度。
最终时，链条的重力势能为 $E_{p2} = mg(L-l)$，其中 $L-l$ 是下垂部分的长度。
步骤 3：计算最终状态的动能
最终时，链条的动能为 $E_{k} = \frac{1}{2}mv^2$，其中 $v$ 是链条末端的速度。
步骤 4：应用能量守恒定律
根据能量守恒定律，初始状态的重力势能等于最终状态的重力势能和动能之和，即 $E_{p1} = E_{p2} + E_{k}$。代入上述表达式，得到 $mgl = mg(L-l) + \frac{1}{2}mv^2$。化简得到 $v = \sqrt{\frac{2g(L-l)}{1}}$。
步骤 5：计算所需时间
根据牛顿第二定律，链条的加速度为 $a = g\frac{L-l}{L}$。根据运动学公式，$v = at$，代入 $v$ 和 $a$ 的表达式，得到 $t = \sqrt{\frac{L}{g}}\ln\frac{L+\sqrt{L^2-(L-l)^2}}{l}$。
在链条滑动过程中，由于桌面光滑，没有摩擦力做功，因此系统的机械能守恒。初始时，链条静止，只有重力势能。当链条末端滑到桌子边缘时，链条具有动能和重力势能。
步骤 2：计算初始和最终状态的重力势能
初始时，链条的重力势能为 $E_{p1} = mgl$，其中 $m$ 是链条的质量，$g$ 是重力加速度，$l$ 是下垂部分的长度。
最终时，链条的重力势能为 $E_{p2} = mg(L-l)$，其中 $L-l$ 是下垂部分的长度。
步骤 3：计算最终状态的动能
最终时，链条的动能为 $E_{k} = \frac{1}{2}mv^2$，其中 $v$ 是链条末端的速度。
步骤 4：应用能量守恒定律
根据能量守恒定律，初始状态的重力势能等于最终状态的重力势能和动能之和，即 $E_{p1} = E_{p2} + E_{k}$。代入上述表达式，得到 $mgl = mg(L-l) + \frac{1}{2}mv^2$。化简得到 $v = \sqrt{\frac{2g(L-l)}{1}}$。
步骤 5：计算所需时间
根据牛顿第二定律，链条的加速度为 $a = g\frac{L-l}{L}$。根据运动学公式，$v = at$，代入 $v$ 和 $a$ 的表达式，得到 $t = \sqrt{\frac{L}{g}}\ln\frac{L+\sqrt{L^2-(L-l)^2}}{l}$。