题目
有甲、乙两只船,它们在静水中航行速度-|||-分别为v1和v2,现在两船从同一渡口向河对岸开去,已知甲船-|||-想用最短时间渡河,乙船想以最短航程渡河,结果两船抵达对-|||-岸的地点恰好相同。则甲、乙两船渡河所用时间之比 dfrac ({t)_(1)}({t)_(2)} 为-|||-()-|||-A. dfrac ({{y)_(2)}^2}({v)_(x)} B. dfrac ({v)_(1)}({v)_(2)} C. _(2)^2 D. dfrac ({{v)_(1)}^2}({v)_(2)}^2-|||-[变式训练3](2020·山东潍坊模拟)如图所示,河水-|||-由西向东流,河宽为800m,河中各点的水流速度大小为v状,各-|||-点到较近河岸的距离为x,v水与x的关系为 _(x)=dfrac (3)(400)x(m/s)(x-|||-的单位为m),让小船船头垂直河岸由南向北渡河,小船划水速-|||-度大小恒为 _(m)=4m/s, 则下列说法正确的是 ()-|||-北 __-|||-→东800 m-|||-v水-|||-0 ↑v船-|||-A.小船渡河的轨迹为直线-|||-B.小船在河水中的最大速度是 5m/s-|||-C.小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200m处的-|||-速度-|||-D.小船渡河的时间是160s
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定甲船渡河时间
甲船想用最短时间渡河，因此甲船的航行方向垂直于河岸，即甲船的航行速度为v1。设河宽为d，则甲船渡河时间 ${t}_{1}=\dfrac {d}{{v}_{1}}$ 。
步骤 2：确定乙船渡河时间
乙船想以最短航程渡河，因此乙船的航行方向与河岸成一定角度，使得乙船的航行速度在垂直于河岸方向上的分量为v2。设河宽为d，则乙船渡河时间 ${t}_{2}=\dfrac {d}{{v}_{2}\cos \theta }$ ，其中 $\cos \theta =\dfrac {{v}_{2}}{{v}_{0}}$ ，${v}_{0}$ 为河水的流速。
步骤 3：计算时间比
根据题意，甲、乙两船抵达对岸的地点相同，因此它们的渡河时间之比为 $\dfrac {{t}_{1}}{{t}_{2}}=\dfrac {\dfrac {d}{{v}_{1}}}{\dfrac {d}{{v}_{2}\cos \theta }}=\dfrac {{v}_{2}\cos \theta }{{v}_{1}}$ 。由于 $\cos \theta =\dfrac {{v}_{2}}{{v}_{0}}$ ，则 $\dfrac {{t}_{1}}{{t}_{2}}=\dfrac {{v}_{2}\dfrac {{v}_{2}}{{v}_{0}}}{{v}_{1}}=\dfrac {{{v}_{2}}^{2}}{{{v}_{1}}^{2}}$ 。
甲船想用最短时间渡河，因此甲船的航行方向垂直于河岸，即甲船的航行速度为v1。设河宽为d，则甲船渡河时间 ${t}_{1}=\dfrac {d}{{v}_{1}}$ 。
步骤 2：确定乙船渡河时间
乙船想以最短航程渡河，因此乙船的航行方向与河岸成一定角度，使得乙船的航行速度在垂直于河岸方向上的分量为v2。设河宽为d，则乙船渡河时间 ${t}_{2}=\dfrac {d}{{v}_{2}\cos \theta }$ ，其中 $\cos \theta =\dfrac {{v}_{2}}{{v}_{0}}$ ，${v}_{0}$ 为河水的流速。
步骤 3：计算时间比
根据题意，甲、乙两船抵达对岸的地点相同，因此它们的渡河时间之比为 $\dfrac {{t}_{1}}{{t}_{2}}=\dfrac {\dfrac {d}{{v}_{1}}}{\dfrac {d}{{v}_{2}\cos \theta }}=\dfrac {{v}_{2}\cos \theta }{{v}_{1}}$ 。由于 $\cos \theta =\dfrac {{v}_{2}}{{v}_{0}}$ ，则 $\dfrac {{t}_{1}}{{t}_{2}}=\dfrac {{v}_{2}\dfrac {{v}_{2}}{{v}_{0}}}{{v}_{1}}=\dfrac {{{v}_{2}}^{2}}{{{v}_{1}}^{2}}$ 。