10. (5.0分) 设5阶方阵A的秩为3，其伴随矩阵A^*的秩为（）A. 0B. 1C. 2D. 3

本题考查方阵的秩与其伴随矩阵的秩之间的关系。解题思路是根据方阵$A$的秩$r(A)$与伴随矩阵$A^{*}$的秩$r(A^{*})$之间的特定公式来确定$A^{*}$的秩。

对于$n$阶方阵$A$，其伴随矩阵$A^{*}$的秩$r(A^{*})$与方阵$A$的秩$r(A)$有如下关系：

• 当$r(A)=n$时，$r(A^{*}) = n$；
• 当$r(A)=n - 1$时，$r(A^{*}) = 1$；
• 当$r(A)\lt n - 1$时，$r(A^{*}) = 0$。

在本题中，已知方阵$A$是$5$阶方阵，即$n = 5$，且$A$的秩$r(A)=3$。
因为$n - 1=5 - 1 = 4$，而$3\lt 4$，也就是$r(A)\lt n - 1$。
根据上述关系可知，此时伴随矩阵$A^{*}$的秩$r(A^{*}) = 0$。