题目

已知总体 X sim N(mu, sigma^2), sigma^2 未知, 统计假设 H_0: mu = mu_0, H_1: mu A. (overline(x) - mu_0)/(sigma) sqrt(n) leq -u_(1-alpha)B. (overline(x) - mu_0)/(s) sqrt(n) geq -t_(1-alpha)(n-1)C. (overline(x) - mu_0)/(s) sqrt(n) leq -t_(1-alpha)(n-1)

已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, $\sigma^2$ 未知, 统计假设 $H_0: \mu = \mu_0$, $H_1: \mu < \mu_0$, $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为样本, $\overline{x}, s^2$ 分别为样本均值和样本方差, 则显著性水平 $\alpha$ 下的拒绝域为()(其中 $U \sim N(0,1)$, $T \sim t(n)$, 数 $u_{1-\alpha}$ 满足 $P(U < u_{\alpha})= \alpha$, $t_{\alpha}(n)$ 满足 $P(T < t_{\alpha}(n))= \alpha$ )

A. $\frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma} \sqrt{n} \leq -u_{1-\alpha}$

B. $\frac{\overline{x} - \mu_0}{s} \sqrt{n} \geq -t_{1-\alpha}(n-1)$

C. $\frac{\overline{x} - \mu_0}{s} \sqrt{n} \leq -t_{1-\alpha}(n-1)$

题目解答

答案

C. $\frac{\overline{x} - \mu_0}{s} \sqrt{n} \leq -t_{1-\alpha}(n-1)$

解析

本题考查正态总体均值的假设检验，在总体方差 $\sigma^2$ 未知的情况下，使用 t 检验来进行假设检验。解题思路如下：

  1. 确定检验统计量：
    • 当总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 且 $\sigma^2$ 未知时，我们使用 t 统计量来进行关于总体均值 $\mu$ 的假设检验。t 统计量的公式为 $T=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}$，其中 $\overline{x}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是原假设中的总体均值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量，且该统计量服从自由度为 $n - 1$ 的 t 分布，即 $T\sim t(n - 1)$。
  2. 确定检验类型：
    • 本题的原假设 $H_0:\mu=\mu_0$，备择假设 $H_1:\mu\lt\mu_0$，这是一个左侧检验。
  3. 确定拒绝域：
    • 对于左侧检验，在显著性水平 $\alpha$ 下，拒绝域是使得原假设被拒绝的统计量取值范围。根据 t 分布的性质，我们要找到一个临界值 $t_{\alpha}(n - 1)$，使得当 $T\leq t_{\alpha}(n - 1)$ 时，我们拒绝原假设 $H_0$。
    • 已知 $t$ 分布是关于 $y$ 轴对称的，且 $t_{\alpha}(n - 1)$ 满足 $P(T\lt t_{\alpha}(n - 1))=\alpha$，同时 $t_{1-\alpha}(n - 1)$ 满足 $P(T\lt t_{1-\alpha}(n - 1)) = 1-\alpha$，所以 $t_{\alpha}(n - 1)=-t_{1-\alpha}(n - 1)$。
    • 将 $T=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}$ 代入拒绝域条件，得到拒绝域为 $\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}\leq -t_{1-\alpha}(n - 1)$。