题目
一个盒中放有分别标有数字1,1,2,3,3的5张卡片,每次从中任取一张,取后不放回,连取两次,用X和Y分别表示第一次,第二次取得的卡片上标有的数字,试求(X,Y)的概率分布,则X和Y独立。A. 对B. 错
一个盒中放有分别标有数字1,1,2,3,3的5张卡片,每次从中任取一张,取后不放回,连取两次,用X和Y分别表示第一次,第二次取得的卡片上标有的数字,试求(X,Y)的概率分布,则X和Y独立。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：确定所有可能的取值组合
根据题目描述，X和Y分别表示第一次和第二次取得的卡片上标有的数字。由于卡片上标有的数字有1,1,2,3,3，因此X和Y的取值范围为{1,2,3}。所有可能的取值组合为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)。
步骤 2：计算每种组合的概率
由于卡片取后不放回，因此每次取卡片的概率会随着卡片的减少而变化。例如，第一次取到1的概率为2/5，第二次取到1的概率为1/4。根据这个原则，我们可以计算出每种组合的概率。例如，(1,1)的概率为(2/5)*(1/4)=1/10，(1,2)的概率为(2/5)*(1/4)=1/10，(1,3)的概率为(2/5)*(2/4)=1/5，(2,1)的概率为(1/5)*(2/4)=1/10，(2,3)的概率为(1/5)*(2/4)=1/10，(3,1)的概率为(2/5)*(2/4)=1/5，(3,2)的概率为(2/5)*(1/4)=1/10，(3,3)的概率为(2/5)*(1/4)=1/10。
步骤 3：判断X和Y是否独立
两个随机变量X和Y独立的充分必要条件是对于所有可能的取值组合(x,y)，都有P(X=x,Y=y)=P(X=x)*P(Y=y)。根据步骤2计算出的概率，我们可以发现，例如(1,1)的概率为1/10，而P(X=1)*P(Y=1)=(2/5)*(1/4)=1/10，因此(1,1)满足独立性。但是，例如(1,2)的概率为1/10，而P(X=1)*P(Y=2)=(2/5)*(1/4)=1/10，因此(1,2)不满足独立性。因此，X和Y不独立。
根据题目描述，X和Y分别表示第一次和第二次取得的卡片上标有的数字。由于卡片上标有的数字有1,1,2,3,3，因此X和Y的取值范围为{1,2,3}。所有可能的取值组合为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)。
步骤 2：计算每种组合的概率
由于卡片取后不放回，因此每次取卡片的概率会随着卡片的减少而变化。例如，第一次取到1的概率为2/5，第二次取到1的概率为1/4。根据这个原则，我们可以计算出每种组合的概率。例如，(1,1)的概率为(2/5)*(1/4)=1/10，(1,2)的概率为(2/5)*(1/4)=1/10，(1,3)的概率为(2/5)*(2/4)=1/5，(2,1)的概率为(1/5)*(2/4)=1/10，(2,3)的概率为(1/5)*(2/4)=1/10，(3,1)的概率为(2/5)*(2/4)=1/5，(3,2)的概率为(2/5)*(1/4)=1/10，(3,3)的概率为(2/5)*(1/4)=1/10。
步骤 3：判断X和Y是否独立
两个随机变量X和Y独立的充分必要条件是对于所有可能的取值组合(x,y)，都有P(X=x,Y=y)=P(X=x)*P(Y=y)。根据步骤2计算出的概率，我们可以发现，例如(1,1)的概率为1/10，而P(X=1)*P(Y=1)=(2/5)*(1/4)=1/10，因此(1,1)满足独立性。但是，例如(1,2)的概率为1/10，而P(X=1)*P(Y=2)=(2/5)*(1/4)=1/10，因此(1,2)不满足独立性。因此，X和Y不独立。